Главная страница

А. Н. Колмогорова полное название Специализированный учебно-научный центр Московского государственного университета имени мв. Ломоносова, предъявляются два основных требования. Во-первых, необходимо владеть знаниями


Скачать 0.98 Mb.
НазваниеА. Н. Колмогорова полное название Специализированный учебно-научный центр Московского государственного университета имени мв. Ломоносова, предъявляются два основных требования. Во-первых, необходимо владеть знаниями
Анкор18×
Дата04.11.2018
Размер0.98 Mb.
Формат файлаpdf
Имя файла18_215_18_Vstupitelnye_zadachi_FMSh_pri_MGU.pdf
оригинальный pdf просмотр
ТипКнига
#48039
страница1 из 19
Каталогid3453405

С этим файлом связано 25 файл(ов). Среди них: Shkolny_etap_5_klass_uslovia.pdf, Построение сечений элементарными средствами Урок№4.ppt.ppt, Prasolov_Zadachi_po_planimetrii.pdf, Vilenkin_N_Ya_i_dr_Fakultativny_kurs_Izbrannye_voprosy_matematik, Kiselev_A_P_Pod_red_Glagoleva_N_A_Geometria.pdf, 9_klass.pdf, Shkolny_etap_4_klass_otvety.pdf, 2_Trigonometria_Falin_G_I.pdf и ещё 15 файл(а).
Показать все связанные файлы
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   19
Школа имени АН. Колмогорова
Н. Б. Алфутова, Ю. Е. Егоров, А. В. Устинов
18
× Вступительные задачи ФМШ при МГУ
Электронное издание
Москва
Издательство МЦНМО


УДК ()
ББК .
А
Алфутова Н. Б, Егоров Ю. Е, Устинов А. В 18. Вступительные задачи ФМШ при МГУ
Электронное издание
М.: МЦНМО, с Сборник состоит из задач по математике, которые в разные годы предлагались на вступительных экзаменах в и  классы школы им.
А. Н. Колмогорова. Приводятся задачи разного уровня сложности по алгебре, геометрии и теории чисел.
Подготовлено на основе книги Н. Б. Алфутова, Ю. Е. Егоров,
А. В. Устинов. 18
× 18. Вступительные задачи ФМШ при МГУ. е изд, испр. и доп. –– М МЦНМО, . ––
ISBN Издательство Московского центра непрерывного математического образования, Москва, Большой Власьевский пер, тел. () ––.
http://www.mccme.ru
ISBN ----
© Алфутова Н. Б, Егоров Ю. Е.,
Устинов А. В, .
© МЦНМО, .
К читателю
Что было, то и будет и что делалось, то и будет делаться, и нет ничего нового под солнцем.
Бывает нечто, о чём говорят смотри, вот это новое но это было уже в веках, бывших прежде нас.
Книга Екклесиаста
К школьникам, поступающим в школу-интернат имени
А. Н. Колмогорова (полное название –– Специализированный учебно-научный центр Московского государственного университета имени МВ. Ломоносова, предъявляются два основных требования. Во-первых, необходимо владеть знаниями,
предусмотренными школьной программой. Во-вторых, нужно уметь решать нестандартные задачи. Здесь можно взять изобретательностью, упорством или знанием.
Откроем нашим читателям главный секрет. Идей и трюков, которые используются при составлении новых задач, конечное число (хотя довольно большое. За время существования школы было проведено огромное количество письменных и устных вступительных экзаменов. Всевозможные идеи так или иначе уже были использованы, и придумать что-то принципиально новое очень сложно. Например, одну из самых красивых геометрических задач в этой книге (см. № можно найти в Книге лемм Архимеда. Она предлагалась в году, и сейчас уже вряд ли кто-то сможет сказать, была ли она придумана заново или же позаимствована у классика.
Здесь мы постарались объединить наиболее интересные и полезные задачи, предлагавшиеся на экзаменах в разные годы. Они позволят вам повторить школьную программу и познакомиться с новыми приёмами, которые вне слегка не вписываются. У вас появятся знания и опыт, которые на 90 обеспечат вам успех на вступительном экзамене. Не пугайтесь, если условие сначала покажется сложным. Задача могла
предлагаться на заочном туре, когда над ней можно было думать больше месяца или даже предложить знакомому ма- тематику.
Можно сказать, что в представленных задачах просматривается математическая история интерната, сменившего название, но сохранившего свою творческую и научную суть.
Наши многочисленные выпускники ностальгически улыбнутся, увидев знакомые задания, которые кому-то, возможно,
решили судьбу поступления, а кому-то просто принесли радость открытия. Книга неслучайно составлена в формате 18 (18 глав по 18 задач. До  года школа имени
А. Н. Колмогорова называлась физико-математической шко- лой-интернатом №  при МГУ. Название книги –– наша дань прежнему имени, уходящему в прошлое.
Отметим некоторые книги, которые будут полезны, если вы захотите познакомиться с теорией в большем объёме,
а также лучше овладеть техникой решения нестандартных задач:
Алфутова Н. Б, Устинов А. В. Алгебра и теория чисел:
Сборник задач. –– М МЦНМО, .
Васильев Н. Б, Егоров А. А. Задачи всесоюзных математических олимпиад. Часть . –– М, . –– (Библиотечка «Квант»;
Вып. ).
Васильев Н. Б, Егоров А. А. Задачи всесоюзных математических олимпиад. Часть . –– М, . –– (Библиотечка «Квант»;
Вып. ).
Галицкий МЛ, Гольдман А. М, Звавич ЛИ. Сборник задач по алгебре. –– М Просвещение, .
Генкин С. А, Итенберг ИВ, Фомин Д. В. Ленинградские математические олимпиады. –– Киров АСА, .
Уфнаровский В. А. Математический аквариум. –– М Изд-во
МЦНМО, Другие ссылки на полезную литературу вы найдёте в конце каждой главы. В основном это статьи из журнала «Квант»,
которые доступны по адресу kvant.mccme.ru.

Авторы выражают свою искреннюю благодарность преподавателям школы А. А. Егорову, В. В. Вавилову, О. Е. Долгале- вой, В. Н. Дубровскому, Д. В. Алексееву и И. Ю. Селивановой за предоставленные материалы и помощь при составлении этого сборника.
Алфутова Н. Б. Егоров Ю. Е. (egorov.yu@gmail.com)
Устинов А. В. (ustinov@iam.khv.ru)

Основные обозначения множество натуральных чисел множество целых чисел множество действительных чисел 1 · 2 · … · n –– факториал числа Символом обозначается число, десятичная запись которого в м разряде имеет цифру a
i
. Иначе говоря a
n
· 10
n
+ a
n
−1
· 10
n
−1
+ … + a
0
−→
AB –– вектор с началом в точке A и концом в точке Для треугольника ABC будем использовать следующие обозначения углы этого треугольника a, b, c –– лежащие напротив них стороны p –– полупериметр; S –– площадь и R –– радиусы вписанной и описанной окружностей соответственно длины высоты, медианы и биссектрисы соответственно, проведённых из вершины A к стороне a.

Тема 
Делимость
Деление с остатком
Простые и составные числа
Решение уравнений в целых числах
Т е ори я. Пусть a –– целое число, b –– натуральное. Существует единственная пара целых чисел q и r таких, что a
= b · q + и 0
r
< b. Числа q и r называются соответственно (неполным) частными остатком при делении a на b.


. Числа a и b называются сравнимыми по модулю m, если они дают одинаковые остатки при делении на m. Записывается это в виде a
b (mod m). Если a b (mod m) и c d
(mod m), то:
а) a
± c b ± d (mod б) a
· c b · d (mod m).


. Натуральное число p > 1, которое имеет ровно два натуральных делителя (1 и p), называется простым. Натуральные числа, отличные от 1 и не являющиеся простыми, называются составными. По соглашению, число 1 не относят ник простым, ник составным числам. Натуральные числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен Если числа m
1
, m
2
, …, попарно взаимно просты, то делимость на их произведение эквивалентна делимости на каждое из чисел m
i


. Основная теорема арифметики. Любое натуральное число представимо в виде произведения простых сомножителей. Такое представление единственно с точностью до порядка сомножителей
Задачи. Найдите все целые числа a, для которых число+ 1
a
+ будет целым. Пусть x и y –– целые числа такие, что 3x + 7y делится на 19. Докажите, что 43x
+ 75y тоже делится на 19.
. (). Найдите все числа, которые оканчиваются цифрами и уменьшаются в целое число раз после вычёрки- вания этих цифр. Найдите все простые числа p и q, для которых верно равенство p
2
− 2q
2
= 1.
. (). Докажите, что для чётных натуральных чисел n число делится на 48.
. (). Решите в целых числах уравнение+ 3y
2
= 24.
. (). а) Докажите, что сумма квадратов десяти последовательных натуральных чисел никогда не является полным квадратом.
б) Найдите 11 последовательных натуральных чисел, сумма квадратов которых является полным квадратом
(). Докажите, что число 3 54
− 3 27
· 2 12
+ 2 является составным
(). Найдите все пары (x, y) натуральных чисел, удовлетворяющие уравнению x
2
+ y
2
= x
3
. (). Найдите наибольшее натуральное число n такое,
что 1995! делится на 10
n
. (). Найдите все натуральные числа n и m такие, что+ 2! + … + n! = m
2
. (). Докажите, что не существует таких целых чисел и m, что+ 6m
2
+ 5m = 27n
3
+ 9n
2
+ 9n + 1.
. (). Докажите, что не существует простого числа p такого, что n!
+ 1 < p n! + n (n 2).


. (). Найдите наименьшее простое число, являющееся делителем числа 3 11
+ 5 13
. (). Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющих равенству xy − 2x + 3y = 11.
. (). Найдите два двузначных числа, если известно, что сумма остальных двузначных чисел враз больше одного из этих двух чисел. При каких натуральных n число n
2
+ 17n − 2 делится а) наб) на 121?
. (). Найдите наибольшую степень двойки, на которую при любом нечётном a делится число a
12
a
8
a
4
+ Ответы и решения, значит, a
+ 2 –– делитель пяти. Поэтому возможны четыре варианта a
+ 2 = ±5, ±1, те или a = Ответ. a

= 3, a = −7, a = −1, a = −3.
.. Указание. Преобразуем выражение
=76x −33x +152y−77y =19(4x +8y)−11(3x +7y).
.. Запишем искомое число A в виде A = B · 10 4
+ 1969. По условию задачи должно выполняться равенство 10 4
+ 1969 = k · где k
∈ . Значит, 1969 = (k − 10 4
)B и B является делителем числа 1969
= 11 · 179. Следовательно, существуют четыре возможных варианта выбора B: B
= 1, 11, 179, Ответ.
11 969, 111 969, 1 791 969, 19 691 969.
.. Перепишем уравнение в виде 1)(p + 1)
2

Заметим, что p –– непременно нечётное число. Отсюда q ––
чётное. Значит, q
= 2 (2 –– единственное чётное простое число) и p
= Ответ. p

= 3, q = 2.
.. Поскольку 48 = 2 4
· 3, достаточно показать, что n(n
2
+ делится на 3 и на 2 4
. Если n
= 3k, то первый множитель делится на 3. Если же n
= 3k + 1 или n = 3k + 2, то второй множитель равен соответственно (3k
+ 1)
2
+ 20 = 9k
2
+ 6k + 21 или+ 2)
2
+ 20 = 9k
2
+ 12k + 24 и, значит, делится на Пусть n
= 2l, где l чётно. Тогда первый множитель делится на 4 и второй делится на 4. Доказана делимость на 2 4
. Если же 2s, где s нечётно (s = 2t + 1), то второй множитель делится на 2 3
, так как+ 2)
2
+ 20 = 16t
2
+ 16t + а первый делится на 2.
.. Преобразуем уравнение к виду 2xy = 3(8 − y
2
). Левая часть –– число чётное, откуда следует, что y также чётно. Пусть 2z. Тогда xz = 3(2 − z
2
) или x
=
6
z
− 3z. Чтобы x было целым числом, необходимо, чтобы z было делителем 6. Значит –– одно из чисел, ±2, ±3 или Ответа) Пусть сумма квадратов 4)
2
+ (n − 3)
2
+ (n − 2)
2
+ (n − 1)
2
+ n
2
+
+ (n + 1)
2
+ (n + 2)
2
+ (n + 3)
2
+ (n + 4)
2
+ (n + является полным квадратом. Тогда, раскрыв скобки, находим,
что число+ 10n + 85 = 5(2n
2
+ 2n + является полным квадратом. Таким образом, число 2n
2
+ 2n +
+ 17 должно делиться на 5. Если n = 5k, тоне делится на 5. В случаях n
= 5k − 2, n = 5k − 1, n = 5k + или n
= 5k + 2 значение 2n
2
+ 2n + 17 равно 50k
2
− 30k + 21,


50k
2
− 10k + 17, 50k
2
+ 30k + 21 и 50k
2
+ 50k + 29 соответственно. Легко видеть, что эти числа также не делятся на 5 ни при каком натуральном б) Сумма квадратов одиннадцати чисел 5)
2
+ (n − 4)
2
+ (n − 3)
2
+ (n − 2)
2
+ (n − 1)
2
+ n
2
+
+ (n + 1)
2
+ (n + 2)
2
+ (n + 3)
2
+ (n + 4)
2
+ (n + равна 11(n
2
+ 10). При n = 23 это число равно 11 · 539 = 77 Таким образом, сумма квадратов чисел 18, 19, 20, 21, 22, 23,
24, 25, 26, 27 и 28 равна квадрату числа Ответ. б) 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28.
..
3 54
− 3 27
· 2 12
+ 2 24
=
= (3 27
)
2
+ 2 · 3 27
· 2 12
+ (2 12
)
2
− 3 27
· 2 12
− 2 · 3 27
· 2 12
=
= (3 27
+ 2 12
)
2
− 3 · 3 27
· 2 12
= (3 27
+ 2 12
)
2
− 3 28
· 2 12
=
= ((3 27
+ 2 12
)
− 3 14
· 2 6
)((3 27
+ 2 12
)
+ 3 14
· 2 6
).
.. Из уравнения y
2
= x
2
(x
− 1) следует, что является делителем, значит, y
= kx (k ∈ ) и k
2
x
2
= x
2
(x
− 1). Но x = поэтому x
− 1 = и x
= k
2
+ 1. Следовательно, решениями уравнения являются пары (x, y)
= (k
2
+ 1, (k
2
+ 1)k), k ∈ Ответ.
(x, y)
= (k
2
+ 1, (k
2
+ 1)k), k ∈ .
.. Указание. Подсчитайте количество пятёрок в разложении на простые множители (не забудьте, что в числе 25 две пятёрки, в 125 –– три и. т. д.).
Ответ. n
= 496.
.. Если n = 1, 2, 3, 4, толевая часть уравнения равна 1, 3,
9 и 33 соответственно (откуда и следует ответ. Если то число слева заканчивается на 3 и поэтому не может быть полным квадратом.
Ответ. n
= 1, m = 1 и n = 3, m = 3.
.. В равенстве+ 1)(m + 2) + 3m(m + 1) = 3(9n
3
+ 3n
2
+ 3n) + левая часть делится на 3, а правая –– нет

.. Указание. Любое число вида n! + k для 1 < k n делится на k.
.. Каждое из слагаемых нечётно, следовательно, сумма делится на Ответ.
2.
.. Преобразуем данное уравнение 3x + 3y xy + x − 3 = 11 − 3,
x(x
− 3) − y(x − 3) + (x − 3) = 8,
(x
− 3)(x y + 1) = Число x –– натуральное, а x
− 3 является делителем 8, поэтому 3 ∈ {−2; −1; 1; 2; 4; Значение y находится из соотношения y + 1 =
8
x
− Подходят те решения, для которых y –– натуральное.
Ответ. (x; y)
∈ {(1; 6); (2; 11); (5; 2); (7; 6); (11; 11)}.
.. Найдём сумму всех двузначных чисел как сумму арифметической прогрессии с разностью 1, первый член которой равен 10. Получим, что она равна 4905. Если x и y –– искомые двузначные числа, то по условию задачи x y = 50x, то есть 51x = 4905 − Учитывая неравенства 10
y
99, получаем, что число попадает в промежуток от 4806 до 4895. В этом промежутке на 51 делится только одно число –– это число 4845
= 51 · Следовательно, x
= 95, откуда y = Ответа) Заметим, что+ 17n − 2 = n
2
+ 6n + 9 + 11n − 11 = (n + 3)
2
+ 11(n − Число 11(n
− 1) делится на 11 при любом натуральном Чтобы вся сумма делилась на 11, необходимо и достаточно, чтобы на 11 делилось (n
+ 3)
2
. Это выполняется, если+ 3 = 11k, где k –– произвольное целое число. Коль скоро должно быть натуральным, получаем, что условию задачи
удовлетворяют числа вида n
= 11k − 3, где k –– произвольное натуральное число.
б) Если число n
2
+ 17n − 2 делится на 121, то оно делится и на 11. Тогда согласно пункту а) число n имеет вид 11k − 3. Следовательно+ 17n − 2 = (n + 3)
2
+ 11(n − 1) = 121k
2
+ 121k − Отсюда видно, что число n
2
+ 17n − 2 не делится на 121 ни при каком натуральном Ответа, где k –– натуральное число б) ни при каком натуральном n.
.. Представим исходное число в виде+ 1)(a
2
+ 1)
2
(a
− 1)
2
(a
+ При a
= 2k + 1 числа a
4
+ 1 и a
2
+ 1 делятся только на первую степень числа 2, так как+ 1 = 16k
4
+ 32k
3
+ 24k
2
+ 8k + 2,
a
2
+ 1 = 4k
2
+ 4k + Поскольку одно из чисел k или k
+ 1 обязательно чётное,
то произведение 1)(a + 1) = 2 2
· k(k + всегда делится на 2 3
, ноне всегда на 2 например, при k
= Поэтому максимальная степень двойки, на которую делится исходное число, равна Ответ. Решите сами. Найдите все пары целых чисел x и y, удовлетворяющие уравнению 6xy + 5y
2
= 11.
(). Найдите наименьшее из натуральных чисел, которые при делении надают в остатке 1, при делении надают в остатке 2, при делении надают в остатке 3, при делении надают в остатке 4.


(). Последняя цифра натурального числа a, кратного равна 8. Докажите, что число a
2
− 6a − 216 делится на 1800.
(). Дано простое число p > 5. Решите в натуральных числах уравнение x
2
= y
2
+ 20p.
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   19

перейти в каталог файлов
связь с админом