Главная страница

А. Н. Колмогорова полное название Специализированный учебно-научный центр Московского государственного университета имени мв. Ломоносова, предъявляются два основных требования. Во-первых, необходимо владеть знаниями


Скачать 0.98 Mb.
НазваниеА. Н. Колмогорова полное название Специализированный учебно-научный центр Московского государственного университета имени мв. Ломоносова, предъявляются два основных требования. Во-первых, необходимо владеть знаниями
Анкор18×
Дата04.11.2018
Размер0.98 Mb.
Формат файлаpdf
Имя файла18_215_18_Vstupitelnye_zadachi_FMSh_pri_MGU.pdf
оригинальный pdf просмотр
ТипКнига
#48039
страница2 из 19
Каталогid3453405

С этим файлом связано 25 файл(ов). Среди них: Shkolny_etap_5_klass_uslovia.pdf, Построение сечений элементарными средствами Урок№4.ppt.ppt, Prasolov_Zadachi_po_planimetrii.pdf, Vilenkin_N_Ya_i_dr_Fakultativny_kurs_Izbrannye_voprosy_matematik, Kiselev_A_P_Pod_red_Glagoleva_N_A_Geometria.pdf, 9_klass.pdf, Shkolny_etap_4_klass_otvety.pdf, 2_Trigonometria_Falin_G_I.pdf и ещё 15 файл(а).
Показать все связанные файлы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   19
(). Найдите все пары натуральных чисел, для которых их произведение втрое больше их суммы. Может ли сумма трёх последовательных квадратов целых чисел быть равной сумме кубов двух последовательных целых чисел. Найдите все целочисленные решения уравнения 56 + Литература поте м е Егоров А. Сравнения по модулю и арифметика остатков Квант. . № . С. –– .
[2] Булавко И. Делимость чисел // Квант. . № . С.  –– .
[3] Ионин Ю, Плоткин А. Выбор модуля // Квант. . № С. –– .
[4] Егоров А. Деление с остатком и сравнения по модулю Квант. . № . С. –– .

Тема Десятичная запись числа и признаки делимости
Т е ори я. Признаки делимости. Число, записанное в десятичной системе счисления, делится на 2 (на 5) тогда и только тогда,
когда его последняя цифра делится на 2 (на 5). Аналогично,
число делится на 4 (на 25) тогда и только тогда, когда число,
состоящее из двух его последних цифр, делится на 4 (на Число, записанное в десятичной системе счисления, делится на 3 (на 9) тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 (на 9). Число N
= делится на 11 тогда и только тогда, когда знакопеременная сумма его цифр a
1
+ a
2
− … + (делится на 11.


. Квадраты целых чисел при делении на m = 4 могут давать только остатки 0 и 1, а при делении на m
= 5 –– остатки, 1 и 4. Аналогичные утверждения можно сформулировать для других модулей m и других степеней целых чисел. Можно, например, рассматривать и остатки отделения на m
= которые совпадают с последней цифрой числа (для квадратов они равны 0, 1, 4, 5, 6 и Задачи. Шестизначный номер автобусного билета называется счастливым, если сумма его первых трёх цифр равна сумме трёх последних цифр. Докажите, что сумма всех счастливых номеров делится на 13. (Номер автобусного билета может начинаться с произвольного числа нулей. В каком году родились люди, которым в 1969 году исполнилось столько лет, какова сумма цифр их года рождения. Найдите все трёхзначные числа, которые враз больше суммы своих цифр. Найдите все двузначные числа, равные сумме числа своих десятков и квадрата числа единиц. Некоторое число k в десятичной системе записывается при помощи семёрок, шестёрок и пятёрок, причём количество пятёрок и семёрок равное. Докажите, что число+ 15 –– составное. Возьмём натуральное число, вычтем из него сумму его цифр, затем вычеркнем одну цифру из полученной разности. Какую цифру мы вычеркнули, если сумма оставшихся цифр равна 1973?
. (). Найдите все шестизначные числа, которые уменьшаются втрое при перестановке последней цифры на первое место
(). В десятичной записи WO
W
= TWO различным буквам соответствуют разные цифры. Найдите их (). Докажите, что число 99…99 1986 7 делится на 7.
. (). Докажите, что число 22…2 1990 1 составное (). Может ли число, записываемое при помощи нулей, 100 единиц и 100 двоек, быть полным квадратом. Докажите, что в записи числа 2 есть по крайней мере две одинаковые цифры, не вычисляя его. Найдите сумму цифр всех чисел последовательности. В числовом равенстве ab · cb = ddd каждая буква является одной из цифр (разным буквам отвечают разные цифры. Найдите a
+ b + c + d.
. (). В арифметических равенствах а) (P
+ L + U + S)
S
= б) (E
+ A + R + T + H)
H
= EARTH

каждая из букв является одной из цифр 0, 1, 2, …, 9, при этом различным буквам соответствуют разные цифры. Установите числовые равенства. Известно, что a, b, c –– три различные цифры. Если сложить все шесть двузначных чисел, которые можно записать сих помощью, не повторяя одну и туже цифру в числе дважды, то получим 528. Найдите эти цифры. Борис задумал натуральное число, умножил его на 13, зачеркнул последнюю цифру результата, полученное число умножил на 8, опять зачеркнул последнюю цифру результата и получил число 20. Какое число задумал Борис?
Найдите всевозможные ответы и докажите, что других ответов нет (). Десятичная запись числа состоит только из шест- рок и нулей. Может ли оно быть полным квадратом?
О т в е ты и решения. Разобьём все счастливые номера на две группы. В первую группу отнесём те, запись которых состоит из двух равных трёхзначных чисел (например, 765765). Все остальные счастливые номера отнесём ко второй группе. Поскольку abc · 1001 = abc · 7 · 11 · каждое число из первой группы делится на 13, а значит, делится на 13 и сумма всех таких чисел. Рассмотрим число из второй группы (abc
= def ). Вместе с ним во второй группе находится и число defabc
= abcdef . Таким образом, все числа из второй группы разбиваются на пары. Сумма чисел в каждой паре делится на 13, так как+ abcdef = (abc + def ) · 7 · 11 · Поэтому делится на 13 и сумма всех чисел из второй группы. Пусть люди родились в 19ab году (в XIX веке максимальная сумма цифр года рождения достигается для 1899 года ––

всего лишь 27), тогда по условию задачи+ 1 + 9 + a + b = 1969,
11a
+ 2b = Из последнего равенства следует, что a –– нечётное число. Так как 0 2b
18, то 41 11a
59. Получаем единственный возможный вариант a
= 5, b = Ответ.
1952.
.. Пусть искомые трёхзначные числа имеют вид abc=100a +
+ 10b + c (1 a 9, 0 b 9, 0 c 9), тогда условие задачи можно записать следующим образом+ 10b + c = 12a + 12b + или 2b + Из равенства 2b
= 88a − 11c следует, что b делится нате, откуда c = 8a. Значит, a = 1, c = Ответ. 108.
.. Представим двузначное число в его десятичной записи 10a + b, где 1 a 9, 0 b Тогда, согласно условию задачи, 10a
+ b = a + b
2
. Отсюда 9a
=
= b(b − 1). Левая часть последнего равенства делится на Оба множителя b и b
− 1 не могут одновременно делиться на 3. Значит, либо b, либо b
− 1 делится на 9. Так как a = ни b, ни b
− 1 не могут равняться 0. Отсюда b = 9 и a = Ответ.
89.
.. Число k делится на 3, так как сумма его цифр делится на 3. Это значит, что число k
+ 15 тоже делится нате. оно составное. Если из натурального числа вычесть сумму его цифр, то получим число, которое делится на 9. Согласно признаку делимости на 9 сумма цифр этого числа также должна делиться на 9. Поскольку 1
+ 9 + 7 + 3 = 20, заключаем, что вычеркнута цифра Ответ.
7.


.. Пусть abcdef –– искомое число. Условие задачи переписывается в виде abcdef
= 3 · Решение . Распишем равенство более подробно 10 5
+ b · 10 4
+ c · 10 3
+ d · 10 2
+ e · 10 + f =
= 3 f · 10 5
+ 3a · 10 4
+ 3b · 10 3
+ 3c · 10 2
+ 3d · 10 + или 10 4
+ 7b · 10 3
+ 7c · 10 2
+ 7d · 10 + 7e = 299 999 · f Сокращая последнее равенство на 7, имеем 10 4
+ b · 10 3
+ c · 10 2
+ d · 10 + e = 42 857 · f те. Так как abcde –– пятизначное число,
для f возможны только два случая f
= 1 или f = 2, те. искомые числа равны 428 571 и 857 Решение . Рассмотрим следующие периодические десятичные дроби 0,(abcdef ) и y = 0,( Эти два числа удовлетворяют условиям 3y,
10 y
= f + x,
x
< 1,
y
< Отсюда получаем, что y
=
f
7
, x
=
3 f
7
. Поскольку f –– некоторая цифра и x
< 1, возможны два варианта f = 1 или f = Рассматривая периоды дробей и 7
, находим два возможных решения x
= 428 571 и x = 857 Ответ.
428 571, 857 142.
.. Так как самое маленькое двузначное число 10 в третьей степени даёт четырёхзначное число, тот. е. 2O
2
= Для O есть только четыре возможных значения 0, 1, 5 или Перебором убеждаемся, что O
= Ответ. T

= 6, W = 2, O = 5.


.. Из равенства 1986 7
= 10 · 9 · 11…11 вытекает, что нужно доказать делимость на 7 числа 11…11 Число 111 111
= 1001 · 111 делится на 7 в силу того, что 1001 =
= 7 · 11 · 13. Но 1986 делится на 6, поэтому число 11…11 можно представить в виде суммы 1986
= 111 111 · 10 1980
+ 111 111 · 10 1974
+ … + 111 в которой каждое слагаемое делится на 7.
.. Указание. Подсчитайте сумму цифр. Такое число делится на 3 (сумма цифр кратна 3), ноне делится на Ответ. Не может. Так как 1000 < 1024 = 2 10
< 2000, то 10 9
< 2 30
< 8 · 10 Поэтому запись числа 2 содержит 10 цифр. Если бы они все были различными, то их сумма равнялась бы 45, и число 2 делилось бы на 3, что неверно. Следовательно, в числе 2 хотя бы две цифры совпадают. Каждому числу abcd, меньшему 5000, поставим в соответствие число (9
a)(9 − b)(9 − c)(9 − d), которое больше или равно 5000. Таким образом, все числа от 0 до 9999 разобьются на пары, причём сумма цифр в каждой паре равна Всего пар 5000, в них нет только числа 10 000. Значит, искомая сумма цифр равна 5000
· 36 + Ответ.
180 001.
.. Коль скоро ddd = d · 111 = d · 3 · 37, одно из чисел ab или делится на 37. Пусть это будет ab, те или ab = Если ab
= 37, то cb = 27 (так как cb делится на 3) и ddd = Если же ab
= 74, то для cb нет вариантов, удовлетворяющих условию задачи.
Ответ. a
+ b + c + d = 21.


.. а) Сделаем оценку левой части равенства для x = P + L +
+ U + S:
6
x
30;
36
x
2 900;
216
x
3 27 000;
1296
x
4 810 000;
7776
x
5 24 300 000;
10 5
< Отсюда 3
S
5. Пусть S
= 3, тогда последней цифрой x может быть только 7. Проверим 7 3
= 343 –– не удовлетворяет 3
= 4913 –– удовлетворяет, 27 3
= 19 683 –– не удовлетворяет условию. Далее, S
= 4, ибо нет ни одного числа, четвёртая степень которого оканчивается на 4. При S
= 5 число x оканчивается на 5, поэтому x
5 15 5
> 10 5
. Значит, при S
= 5 решений нет.
Ответ. (4
+ 9 + 1 + 3)
3
= б) Ответ.
(1
+ 9 + 6 + 8 + 3)
3
= 19 683.
.. Двузначные числа, составленные из цифр a, b и c, –– это числа 10a
+ b, 10b + a, 10b + c, 10c + b, 10c + a, 10a + c. Их сумма равна 22(a
+ b + c). Единственный набор различных цифр,
удовлетворяющих равенству 22(a
+ b + c) = 528, –– это набор 8; Ответ.
7; 8; 9.
.. Существуют лишь два трёхзначных числа, которые начинаются цифрами 2, 0 и делятся на 8. Это числа 200 и Значит, до умножения на 8 у Бориса могли быть только числа и 26. К числу 25 нельзя дописать справа цифру так, чтобы получилось число, кратное 13. Единственное трёхзначное число, которое начинается с цифр 2, 6 и делится на 13, –– это число 260. Следовательно, исходное число равно 13
= Ответ.
20.
.. Указание. Квадрат натурального числа не может заканчиваться на 66, 60 или Ответ. Нет.
Р е шит е сами. Найдите наименьшее натуральное число, начинающееся с цифры 4 и уменьшающееся от перестановки этой цифры вконец числа в 4 раза

(). Ученик написал примерна умножение, а затем заменил все цифры буквами одинаковые цифры –– одинаковыми буквами, а разные –– разными. Получилось равенство а) ab
· cd = effe; б) ab · cd = efef ; в) ab · cd = Не ошибся ли ученик. Десятичная запись числа состоит только из двоек и нулей. Может ли оно быть полным квадратом. Найдите наименьшее шестизначное число, которое делится на 321.
(). Найдите последнюю цифру десятичной записи числа 2
− 1 2
+ 2 2
− 3 2
+ 4 2
− … − 2001 2
+ 2002 2
(). Найдите все натуральные числа, которые уменьшаются враз при зачёркивании в них последней цифры. Может ли число вида 11…1
n
2 11…1
n
, n
1, быть простым Литература поте м е Кудреватов Г. Сравнения // Квант. . № . С. –– .
[2] Булавко И. Делимость чисел // Квант. . № . С.  –– .
[3] Абрамович В. Признаки делимости на l // Квант. .
№ . С. ––.
[4] Ионин Ю, Плоткин А. Выбор модуля // Квант. . № С. –– .

Тема Квадратичная функция
Квадратные уравнения
Теорема Виета
Т е ори я. Квадратным трёхчленом называется выражение ax
2
+
+ bx + c (a = 0). Число D = b
2
− 4ac называют дискриминантом квадратного трёхчлена.


. Графиком соответствующей квадратичной функции ax
2
+ bx + является парабола. При a
< 0 ветви этой параболы направлены вниз, а при a
> 0 –– вверх. Координаты вершины параболы равны
x
в
= в b
2 4a


. Квадратное уравнение ax
2
+ bx + c = а) имеет 2 различных корня, если D
> б) имеет 1 корень, если D
= вне имеет корней, если D
< 0.


. При D 0 корни квадратного уравнения ax
2
+ bx + c = находятся по формуле
± D
2a


. Теорема Виета. Если и x
2
–– корни квадратного уравнения, то+ x
2
= −
b
a
,
x
1
x
2
=
c
a


. Обратная теорема Виета. Если числа и x
2
таковы,
что x
1
+ x
2
= −p, x
1
x
2
= q, то и x
2
–– корни приведённого квадратного уравнения x
2
+ px + q = 0.

Задачи. Найдите такое a, при котором сумма квадратов корней уравнения+ (3a − 1)x + a = будет равна 1.
. (). Определите знаки a, b, c квадратичной функции ax
2
+ bx + c наследующих графиках. Под каким углом видна парабола y =
x
2 из точки. Для корней и уравнения x
2
+ x − 1 = 0 найдите значение (x
3 1
+ x
3 2
).
. (). При каких значениях параметра a один из корней уравнения 4
x
+ a
3
= является квадратом другого корня. При каких a уравнение имеет два различных корня а) ax
2
+ (a + 1)x − 2 = 0; б) (1 − a)x
2
+ (a + 1)x − 2 = 0.
. (). Определите все значения параметра a, при которых уравнения x
2
+ ax + 1 = 0 и x
2
+ x + a = 0 имеют хотя бы один общий корень
(). При каких a уравнение ax
2
+ 2x + 1 = 0 имеет одно решение
(). При каких p и q уравнению x
2
+ px + q = 0 удовлетворяют два различных числа 2p и p
+ q?


. (). Ученик, решая квадратное уравнение, допустил ошибку при переписывании, переставив между собой старший коэффициент и свободный член уравнения. При этом оказалось, что один найденный им корень является корнем исходного уравнения, а второй корень, равный числу, нет. Найдите корни исходного уравнения (). Найдите корень уравнения+ bx + c = 0 (a = если он также является корнем уравнения+ cx + a = 0 (b = 0).
. (). Докажите, что уравнение x
2
− 1995x + 10a + 1 = не имеет целых корней ни при каком целом a.
. (). Пусть f (x) и g(x) –– различные квадратные трёх- члены со старшим коэффициентом, равным единице. Решите уравнение f (x)
= g(x), если известно, что
(3)
+ f (7) + f (11) = g(3) + g(7) + g(11).
. (). Квадратичная функция f (x) = ax
2
+ bx + c такова,
что f (1)
< 0, f (2) > 3, f (3) < 6. Найдите знаки чисел a, b, c.
. (). Рассмотрим всевозможные графики функций x
2
+ px + которые пересекают оси координат в трёх различных точках.
Докажите, что все окружности, описанные около треугольников с вершинами в этих точках, имеют общую точку. Найдите максимальное значение произведения если известно, что x
+ 2y = 1.
. (). Нарисуйте множество всех таких точек координатной плоскости, из которых к параболе y
= можно провести две перпендикулярные друг другу касательные (). Известно, что уравнение+ 5bx + c = 0

имеет корни и x
2
, x
1
= x
2
, а некоторое число является корнем следующих двух уравнений+ 2x
1
y
+ 2x
2
= 0,
z
2
+ 2x
2
z
+ 2x
1
= Найдите Ответы и решения. По теореме Виета
x
1
+ x
2
= 1 − 3a,
x
1
x
2
= По условию задачи x
2 1
+ x
2 2
= (1 − 3a)
2
− 2a = 9a
2
− 8a + или 9a
2
− 8a = 0, откуда a
1
= 0, a
2
=
8 9
. Но при a
=
8 уравнение не имеет корней, так как дискриминант меньше нуля.
Ответ. a
= 0.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   19

перейти в каталог файлов
связь с админом