Главная страница

А. Н. Колмогорова полное название Специализированный учебно-научный центр Московского государственного университета имени мв. Ломоносова, предъявляются два основных требования. Во-первых, необходимо владеть знаниями


Скачать 0.98 Mb.
НазваниеА. Н. Колмогорова полное название Специализированный учебно-научный центр Московского государственного университета имени мв. Ломоносова, предъявляются два основных требования. Во-первых, необходимо владеть знаниями
Анкор18×
Дата04.11.2018
Размер0.98 Mb.
Формат файлаpdf
Имя файла18_215_18_Vstupitelnye_zadachi_FMSh_pri_MGU.pdf
оригинальный pdf просмотр
ТипКнига
#48039
страница4 из 19
Каталогid3453405

С этим файлом связано 25 файл(ов). Среди них: Shkolny_etap_5_klass_uslovia.pdf, Построение сечений элементарными средствами Урок№4.ppt.ppt, Prasolov_Zadachi_po_planimetrii.pdf, Vilenkin_N_Ya_i_dr_Fakultativny_kurs_Izbrannye_voprosy_matematik, Kiselev_A_P_Pod_red_Glagoleva_N_A_Geometria.pdf, 9_klass.pdf, Shkolny_etap_4_klass_otvety.pdf, 2_Trigonometria_Falin_G_I.pdf и ещё 15 файл(а).
Показать все связанные файлы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   19
.. Рассмотрим уравнение 2x
2
− (2y + 2)x + 5y
2
− 2y + 1 = как квадратное относительно переменной x. Его дискриминант. Поэтому при y
=
1 уравнение решений не имеет, а при y
=
1 имеем x
=
2 Ответ. (x; y)
=
2 3
;
1 3


.. Исходное уравнение может быть записано в виде y
2
+ 2x − 6)
2
+ (y + 2x − 4)
2
= откуда y
2
+ 2x − 6 = y + 2x − 4 = Ответ. (1; 2),
5 2
;
−1 .
.. Из условия следует, что x, y 1. Поэтому уравнение можно разделить на произведение xy
= 0:
y
− 1
y
+
x
− 1
x
= Покажем, что для всех x
1 будет выполняться неравенство 1
x
1 2
. Действительно, после возведения в квадрат оно преобразуется к виду 4(x
− 1) или (x
− 2)
2 0. Поэтому неравенство всегда верно и обращается в равенство, только если x
= 2. Таким образом, решениями уравнения будут те и только те x и y, для которых 1
x
=
y
− 1
y
=
1 то есть когда x
= y = Ответа б) 3x
5
+ 2x
3
+ x − 6 = (x − 1)(3x
4
+ 3x
3
+ 5x
2
+ 5x + Вторая скобка неравна нулю ни при каких x. Действительно+ 3x
3
+ 5x
2
+ 5x + 6 >
> 3x
4
+ 3x
3
+
3 4
x
2
+ 4x
2
+ 5x +
5 4
2
=
= 3 x
2
+
1 2
x
2
+ 2x +
5 4
2 Ответа корня б) 1 корень. Значения x > 1, очевидно, удовлетворяют неравенству 1 –– не удовлетворяет. Пусть x < 1. Тогда 1 − x = |1 − x| > и неравенство принимает вид − 1| · |x
2
+ x + 1| > |1 − x|, или+ x + 1| > 1. Так как выражение под модулем здесь положительно при всех x, получаем неравенство x
2
+ x > 0. Решая его, находим, что x
∈ (−∞; −1) ∪ (0; Ответ. x

∈ (−∞; −1) ∪ (0; 1) ∪ (1; +∞).


.. Указание. Не забудьте, что выражение под корнем немо- жет быть отрицательным.
Ответ. Решите сами Найдите число корней уравнения (задачи –– ).
(). |||x − 5| − 5| − 2| = 3.
(). 1 + 2 + 3 + … + 199 + x = 200.
().
x(x
− 1)(x − 2) − 3x(x − 1)(x − 3) +
+ 3x(x − 2)(x − 3) − (x − 1)(x − 2)(x − 3) = Решите уравнения (задачи –– ).
(). 5x
2
+ 2y
2
+ 2xy − 4x − 2y + 1 = 0.
(). 5x
2
+ 2y
2
− 6xy + 10x − 6y + 5 = 0.
(). x
3
− 3x = 1000,001.
(). x
4
− 2x
2
− 400x = 9999.
(). 3x + 1 − 2x − 1 =
x
+ 2 3
. [x
3
]
− 3[x]
2
+ 3[x] = {x} + 2. Здесь [x] –– целая часть числа дробная часть числа Литература поте м е Рождественский В. Решение уравнений и неравенств. М.:
Школа им. АН. Колмогорова, Самообразование, .
[2] Сканави М. Метод подстановки при решении уравнений и систем уравнений // Квант. . № . С. –– .
[3] Овчинников С, Шарыгин И. Решение неравенств с модулем Квант. . № . С. –– .
[4] Фомин С. Разложение на множители // Квант. . № С. –– .
[5] Тоом Л. Уравнения, которые удаётся решить // Квант. № . С. –– .


[6] Рыжиков Л, Ионин Ю. Однородные уравнения // Квант. № . С. –– .
[7] Ярский А. Рациональные корни многочлена // Квант. .
№ . С. –– .
[8] Егоров А. Неравенство обращается в равенство // Квант. № . С. –– .
[9] Егоров А, Раббот Ж. Иррациональные уравнения // Квант. № . С. –– .
[10] Егоров А, Раббот Ж. Иррациональные неравенства Квант. . № . С. –– .

Тема Системы уравнений и неравенств
Т е ори я. Как и при решении уравнений, необходимо чётко различать эквивалентные преобразования системы и переход к следствию. К примеру, нельзя (без последующей проверки)
заменить несколько уравнений системы их суммой, ибо последняя является следствием системы. Правильным является использование следующего преобразования B(x),
C(x)
= D(x)

A(x)
+ C(x) = B(x) + D(x),
C(x)
= D(x).


. Геометрическая интерпретация. Множество решений уравнения с двумя неизвестными x и y удобно изображать на плоскости Oxy. Так, равенство x
2
+ y
2
= R
2
задаёт окружность, а + |y| = R при R > 0) –– границу квадрата. Множество точек, являющихся решением системы, есть пересечение множеств решений всех уравнений системы. Теорема Виета. В теме была сформулирована теорема
Виета для квадратного трёхчлена. Она остаётся справедливой и для многочленов более высокой степени. Например, если x
1
,
x
2
, x
3
–– корни многочлена+ ax
2
+ bx + то+ x
2
+ x
3
= −a,
x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ x
3
x
1
= b,
x
1
x
2
x
3
= Верно и обратное решения системы () являются корнями многочлена ().


. Если система симметрическая, то есть неизвестные входят в систему симметричным образом, тов качестве новых
переменных удобно использовать многочлены из теоремы Ви- ета. Например, при решении системы с двумя неизвестными и y обычно помогает замена u
= x + y ив системе стремя неизвестными –– замена u
= x + y + z, v = xy + yz + zx,
w
= xyz.


. При решении уравнений иногда помогает выделение полного квадрата. Так, уравнение x
2
+ y
2
= 2xy эквивалентно равенству x
= Задачи Решите системы уравнений (задачи .–– .).
. ().
x
3
+ y
3
= 9,
x
2
y
+ xy
2
= 6.
. ().



x
+ 1
x
+ y
+
x
+ y
x
+ 1
= 2,
x
+ 1
y
+ 2

y
+ 2
x
+ 1
= 1,5.
. ().







x
2
y
2
+
y
2
z
2
+
z
2
x
2
= 3,
x
+ y + z = 3,
y
2
x
2
+
z
2
y
2
+
x
2
z
2
= 3.
. ().
x
2
+ 4y + 7 = 0,
y
2
+ 2x − 2 = 0.
. ().
x
2
+ y
2
+ z
2
= 3,
xy
+ yz + xz = 3.
. ().
x
2
+ xy + y
2
+ 3x + 3y = 0,
x
2
y
xy
2
+ x
2
y
2
= 9.
. ().
x
2
+ y
2
+ z
2
= xy + xz + yz,
xyz
= 8.


. ().



x
3
+ y
3
= z,
x
3
+ z
3
= y,
y
3
+ z
3
= x.
. ().



x
2
+ y
2
= 4z − 2,
x
2
+ z
2
= 4y − 2,
y
2
+ z
2
= 4x − 2.
. ().



x
3
xyz = 2,
y
3
xyz = −9,
z
3
xyz = 7.
. (). Исследуйте и решите систему уравнений a,
x
7
y
11
= b.
. (). Числа a, b, c удовлетворяют системе уравнений+ b + c = 1,
a
3
+ b
3
+ c
3
= Докажите, что по крайней мере одно из них равно 1.
. (). Найдите положительные (x > 0, y > 0, z > 0) решения системы 3,
x
+ y + z 12.
. (). Найдите все значения a, для каждого из которых система+ y = a,
x
2
+ y
2
= имеет единственное решение. Для каких значений a существует b такое, что − 3b| 1 и |5a + 7b| 1?


. (). При каких значениях a система уравнений 4)x + y = a,
− 3x + ay = имеет больше одного решения. Найдите число решений системы + |y| = 1,
x
2
+ y
2
=
1 2
. (). Найдите все пары целых чисел (x; y), удовлетворяющие соотношениями Ответы и решения. Перепишем исходную систему уравнений в виде+ y)(x
2
xy + y
2
)
= 9,
xy(x
+ y) = Сделаем замену x
+ y = u, xy = v:
u(u
2
− 3v) = 9,
uv
= 6

u
3
− 3uv = 9,
uv
= 6


u
3
= 27,
uv
= 6

u
= 3,
v
= Возвращаясь к переменными, найдём решения x
= 1,
y
= 2 и x = 2, y = Ответ.
(1; 2), (2; 1).
.. Пусть+ 1
x
+ y
0 и+ 1
y
+ 2 Тогда 2,
v

1
v
=
3 2

u
= 1,
2v
2
− 3v − 2 = 0.

У этой системы два решения u
= 1, v = 2 и u = 1, v = −
1 2
. Второе решение не подходит, так как v
0. Возвращаясь к прежним переменным x, y, получим+ 1
x
+ y
= 1,
x
+ 1
y
+ 2
= 2




x
+ 1
x
+ y
= 1,
x
+ 1
y
+ 2
= 4


x
+ 1 = x + y = 0,
x
+ 1 = 4y + 8

y
= 1,
x
= Ответ.
(11; 1).
.. Складывая первое и третье уравнения, приходим к равенству Заметим, что каждая из сумм, стоящих в скобках, не меньше. В самом деле, из очевидного неравенства (a
2
b
2
)
2
=
= a
4
− 2a
2
b
2
+ b
4 0 следует, что+ b
4 2a
2
b
2
;
a
2
b
2
+
b
2
a
2 Равенство достигается только при a
2
= Итак, левая часть равенства (
∗) может равняться 6 только при условии, что каждая из скобок равна 2, те. при = |y| =
= |z|. Осталось решить систему = |y| = |z|,
x
+ y + z = Отметим, что вместе с каждым решением (a; b; c) этой системы решением также является любая тройка, полученная перестановкой этих чисел. Поэтому достаточно рассмотреть следующие случаи) x
0, y
0, z
0, тогда x
+ y + z = 3x = 3y = 3z = 3.
) x
< 0, y 0, тогда x + y = 0 и z = 3, x = −3, y = 3.
) x
< 0, y < 0, тогда z > 0, y + z = 0, x = 3, что невозможно.
Ответ. (1; 1; 1), (3; 3;
−3), (3; −3; 3), (−3; 3; 3).


.. Складывая уравнения системы, получаем+ 1)
2
+ (y + 2)
2
= то есть x
= −1, y = −2. Поскольку это уравнение –– следствие системы, необходима проверка, которая показывает, что пара y)
= (−1; −2) действительно является решением.
Ответ. (
−1; −2).
.. Вычитая второе уравнение из первого и выделяя полные квадраты, приходим к равенству (x
y)
2
+(y z)
2
+(x z)
2
=
= 0, те. Теперь из первого уравнения системы находим две тройки решений x
= y = z = 1 или x = y = z = Ответ. (1; 1; 1), (
−1; −1; −1).
.. Преобразуем оба уравнения системы+ 3x + 3y = −x
2
+ 2xy y
2
,
xy(x
y) + (x + y)(x y) = 9


xy
+ x + y = −
1 3
(x
y)
2
,
(x
y)
3
= −27

x
y = −3,
xy
+ x + y = Вычтем из второго уравнения первое y = −3,
xy
+ 2y = Решая эту систему, находим два ответа x
= −2, y = 1 и y = 0,
x
= Ответ. (
−3; 0), (−2; 1).
.. Первое уравнение приводится к виду y)
2
+ (y z)
2
+ (x z)
2
= откуда x
= y = z. Из второго уравнения находим, что x = y =
= z = Ответ. x
= y = z = 2.
.. Вычитая из первого уравнения системы второе, получим равенство y
3
z
3
= z y или (y z)(y
2
+ yz + z
2
+ 1) = 0.

Вторая скобка в последнем равенстве не может обращаться в ноль, так как+ yz + z
2
+ 1 = y +
z
2 2
+
3 4
z
2
+ 1 Поэтому из первых двух уравнений системы следует равенство. Аналогично рассматривая другую пару уравнений,
получим x
= y = z. После чего находим решения x = y = z = 0,
x
= y = z = −
1 2
, x
= y = z =
1 Ответ. x

= y = z = 0, x = y = z = −
1 2
, x
= y = z =
1 2
.. Сложив все три уравнения, получим+ 2y
2
+ 2z
2
= 4x + 4y + 4z − или+ y
2
+ z
2
= 2x + 2y + 2z − Выделив полные квадраты, приходим к равенству 1)
2
+ (y − 1)
2
+ (z − 1)
2
= Равенство нулю суммы квадратов возможно лишь тогда, когда каждое слагаемое равно нулю, то есть при x
= 1, y = 1, z = Эти равенства –– следствия нашей системы. Проверка показывает, что тройка (x; y; z)
= (1; 1; 1) действительно является решением.
Ответ. x
= y = z = 1.
.. Решение . Из системы видно, что x = 0, y = 0 и z = 0. Каждое уравнение разделим на xyz и прибавим 1 к обеим частям уравнения. Получим систему, равносильную исходной+ 1,
y
2
zx
= −
9
xyz
+ 1,
z
2
yz
=
7
xyz
+ Перемножив эти уравнения и обозначив через a выражение, получим, что a удовлетворяет равенству+ 1)(7a + 1)(1 − 9a) = 1.

Преобразования приводят к уравнению a
2
(126a
+ 67) = Коль скоро a
=
1
xyz
= 0, имеем a = −
67 126
, откуда xyz
= −
126 Подставляя в исходную систему, находим x
=
2 3
67
, y
= −
9 3
67
,
z
=
7 Решение . Сложим все уравнения системы и клевой части получившегося равенства применим тождество из темы Получим+ y + z)(x
2
+ y
2
+ z
2
xy yx zx) = Рассмотрим второй множитель как квадратный трёхчлен относительно x. Его дискриминант равен+ z
2
). Поэтому вторая скобка обращается в ноль лишь при x
= y = z = Но это противоречит исходной системе. Следовательно, x
+
+ y + z = 0 и z = −x y. Подставим это выражение в два первых уравнения системы+ xy + y
2
)
= 2,
y(x
2
+ xy + y
2
)
= Отсюда x
= −
2 9
y и z
= −x y = −
7 9
y. Теперь из исходной системы получаем x
=
2 3
67
, y
= −
9 3
67
, z
=
7 3
67
. Проверкой убеждаемся, что найденная тройка чисел является решением системы.
Ответ. (x; y; z)
=
2 3
67
;

9 3
67
;
7 3
67
.. Если a = 0, то b = 0, и наоборот. При a = 0 и b = 0 имеем бесконечно много решений (u; 0) и (0; v), где u, v
∈ . При 0 и b = 0, перемножив и разделив одно уравнение на другое, приходим к равенствам ab, Подставляя второе уравнение в первое, получим решение. Теперь из исходной системы найдём x.

Ответ. Если a
= b = 0, то (x; y) = (u; 0) или (x; y) = (0; где u, v
∈ если a
= 0, b = 0 или a = 0, b = 0, то решений нет;
если ab
= 0, то x =
b
8
a
11
, y
=
a
7
b
5
.. Данную в условии систему приведём к виду+ b = 1 − c,
a
3
+ b
3
= 1 − Воспользуемся равенством a
3
+ b
3
= (a + b)((a + b)
2
− Обозначив a
+ b = u и ab = v, получаем 1 − c,
u(u
2
− 3v) = 1 − Отсюда (1
c)((1 − c)
2
− 3v) = 1 − Если c
= 1, то утверждение доказано. Пусть c = 1; тогда из последнего равенства найдём, что v
= −c. Таким образом, получаем систему+ b = 1 − c,
ab
= Из неё следует, что числа a и b являются корнями квадратного уравнения x
2
− (1 − c)x c = 0, те или a = −c,
b
= 1.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   19

перейти в каталог файлов
связь с админом