Главная страница

А. Н. Колмогорова полное название Специализированный учебно-научный центр Московского государственного университета имени мв. Ломоносова, предъявляются два основных требования. Во-первых, необходимо владеть знаниями


Скачать 0.98 Mb.
НазваниеА. Н. Колмогорова полное название Специализированный учебно-научный центр Московского государственного университета имени мв. Ломоносова, предъявляются два основных требования. Во-первых, необходимо владеть знаниями
Анкор18×
Дата04.11.2018
Размер0.98 Mb.
Формат файлаpdf
Имя файла18_215_18_Vstupitelnye_zadachi_FMSh_pri_MGU.pdf
оригинальный pdf просмотр
ТипКнига
#48039
страница5 из 19
Каталогid3453405

С этим файлом связано 25 файл(ов). Среди них: Shkolny_etap_5_klass_uslovia.pdf, Построение сечений элементарными средствами Урок№4.ppt.ppt, Prasolov_Zadachi_po_planimetrii.pdf, Vilenkin_N_Ya_i_dr_Fakultativny_kurs_Izbrannye_voprosy_matematik, Kiselev_A_P_Pod_red_Glagoleva_N_A_Geometria.pdf, 9_klass.pdf, Shkolny_etap_4_klass_otvety.pdf, 2_Trigonometria_Falin_G_I.pdf и ещё 15 файл(а).
Показать все связанные файлы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   19
.. Перемножив данные уравнение и неравенство и упростив произведение (напомним, что x
> 0, y > 0, z > 0), получим Из неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом следуют оценки+ 9 ·
x
z
6,
4
·
z
y
+ 9 откуда 4
·
x
y
+
y
x
+
z
x
+ 9 ·
x
z
+ 4 ·
z
y
+ 9 ·
y
z
22.

Это возможно только тогда, когда все неравенства (
∗∗) обращаются в равенства, то есть при выполнении условий 9 ·
x
z
,
4
·
z
y
= 9 Значит, y
= 2x, z = 3x и, кроме того, x + y + z = 12. Отсюда 12, те и, следовательно, y = 4, z = 6. Проверка показывает, что эти числа удовлетворяют данной системе.
Ответ. x
= 2, y = 4, z = 6.
.. Решение . Преобразуем исходную систему+ y = a,
x
2
+ y
2
= a

y
= a x,
x
2
+ (a x)
2
= a


y
= a x,
2x
2
− 2ax + a
2
a = Она имеет единственное решение, когда дискриминант последнего квадратного уравнения обращается в ноль. Это происходит при a
= 0 и a = Решение . Изобразим решения данной системы на плоскости переменных (x; y), см. рис. . Первое уравнение задаёт
y
x
a
a
O
Рис. прямую, проходящую через точку (0; и параллельную прямой x
+ y = 0. Решения второго уравнения –– точки окружности радиуса при a
0 и пустое множество при a
< 0. Решение системы единственно в двух случаях) окружность вырождается в точку и прямая проходит через эту точку, что происходит при a
= 0;
) a
> 0 и прямая касается окружности. В этом случае имеем прямоугольный треугольник с катетом, гипотенузой a и острым углом, и значит, a удовлетворяет уравнению a
2
= 2a. Отсюда Ответили. Указание. Изобразите множество решений системы на плоскости переменных (a; b).

Ответ 32
a
5 32
.. Каждое уравнение данной системы задаёт на плоскости прямую. Две прямые могут быть параллельными (нет решений, пересекаться (одно решение) или совпадать (бесконечно много решений. Последний случай возможен, если коэффициенты при x, y и свободный член будут пропорциональны, те. Эти два равенства выполняются только при a
= Ответ. a

= 1.
.. Указание. Если (x; y) –– решение данной системы, торе- шениями будут также пары (x;
y), (−x; y) и (−x; Ответ. решения. Указание. Из первого уравнения вытекают оценки x и 1
y
5, и, кроме того+ 6y − 5 есть квадрат целого числа.
Ответ. (3; 1), (1; Решите сами. При каких k существуют положительные числа x
1
,
x
2
, …, такие, что+ x
2
+ … + x
k
= 3,
1
x
1
+
1
x
2
+ … +
1
x
k
= Найдите все решения.
Решите системы уравнений (задачи ––).
().



x( y
+ z) = 3,
y(x
+ z) = 4,
z(x
+ y) = 5.
().



xz
+ 2y = 2,
yz
+ 2x = 2,
x
2
y
2
+ z
2
= 9.
().
x
2
+ 2 = 3xy,
7xy
+ 4y
2
= 18.


().
x
3
+ 2xy = 2y,
y
3
+ 2xy = 2x.
().
x
2
xy − 2y
2
x + 2y = 0,
2x
2
xy y
2
+ 2x + y = 0.
().
2x
2
y
xy
2
+ 2y = x + 2,
2x
+ 2xy
2
y = y
2
+ 4x
2
y
− 2.
().



x
2
− 2y + 2 = 0,
y
2
+ 4z + 3 = 0,
z
2
+ 4x + 4 = 0.
().



2 y
+ 3x = 13xy,
2z
+ 5x = 24xz,
3z
+ 5y = 29yz.
 ().
x
2
− 3xy = x − 6,
y
2
+ xy = 8 − y.
 ().



x
+ y + z = 1,
x
2
+ y
2
+ z
2
= 1,
x
4
+ y
4
+ z
4
= 1.
 ().
y
= x
2
− 2x,
y
4x
− 9.
 ().



x
+ y
2
= z
3
,
x
2
+ y
3
= z
4
,
x
3
+ y
4
= Литература поте м е Шабунин М. Системы алгебраических уравнений // Квант. № . С. –– .
[2] Курляндчик Л, Фомин С. Теорема Виета и вспомогательный многочлен // Квант. . № . С. –– .


[3] Гутенмахер В. Системы линейных уравнений // Квант. № . С. –– .
[4] Маргулис А, Радунский Б. Геометрический смысл некоторых неравенств с двумя переменными // Квант. . № С. –– .
[5] Егоров А. Неравенство обращается в равенство // Квант. № . С. –– .

Тема Арифметические и геометрические прогрессии
Т е ори я. Арифметической прогрессией с разностью d называется такая последовательность чисел a
1
, a
2
, a
3
, …, для которой a
n
+ d при каждом n 1.


. Геометрической прогрессией со знаменателем q = 0 называется такая последовательность чисел b
1
, b
2
, b
3
, …, что 0 и b
n
+1
= q · при каждом n
1.


. В арифметической прогрессии й член имеет вид a
1
+ (n − 1) · В геометрической прогрессии й член имеет вид b
1
· q
n
−1


. Последовательность a
1
, a
2
, a
3
, является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда для любого номера n
> 1 выполняется равенство a
n
−1
+ те. каждый её член есть среднее арифметическое соседних с ним членов последовательности).
Последовательность b
1
, b
2
, b
3
, является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда b
1
= 0 и для любого номера n
> 1 выполняется равенство те. каждый её член есть среднее геометрическое соседних с ним членов последовательности. Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формулам+ a
n
2
· n = n · a
1
+
(n
− 1)n
2
· d.

Сумма n первых членов геометрической прогрессии может быть найдена с помощью равенств b
1
·
1
q
n
1
− при q
= 1,
S
n
= b
1
· n при q = Задачи. Дана арифметическая прогрессия a
1
= 9, a
2
, a
3
, …
…, a
1966
= 49. Вычислите+ a
2
+
1
a
2
+ a
3
+ … +
1
a
1965
+ a
1966
. (). Найдите сумму, содержащую 1966 слагаемых+ 33 + 333 + … + 33…3 1966
. (). Докажите, что числа 2, 3 и 5 не могут быть членами одной арифметической прогрессии. Могут ли числа 10, 11, 12 быть членами одной и той же геометрической прогрессии. В арифметической прогрессии a
6
+ a
9
+ a
12
+ a
15
=
= 20. Найдите сумму первых 20 членов этой прогрессии. Докажите, что если стороны прямоугольного треугольника составляют арифметическую прогрессию, то её разность равна радиусу вписанной окружности. В треугольнике с углом стороны образуют арифметическую прогрессию с разностью 1 см. Найдите стороны треугольника
(). Из чашки, полной молока, выливают половину содержимого, доливают её водой и тщательно перемешивают.
Затем выливают половину полученной смеси, снова доливают водой и. т. д. Какую долю содержимого будет составлять вода,
если эту процедуру проделать 6 раз
(). Сколько существует бесконечных геометрических прогрессий, й и й члены которых равны

. (). Для арифметической прогрессии докажите, что 3S
n
+2
+ 3S
n
+1
S
n
= 0.
. (). В квадрате найдите геометрическое место точек таких, что длины перпендикуляров, опущенных из O на стороны квадрата, образуют арифметическую прогрессию. Сумма первых десяти членов и сумма первых ста членов арифметической прогрессии равны соответственно и 10. Найдите сумму первых 110 членов этой прогрессии. Найдите n, если+ 3 + 5 + … + (2n − 1)
2
+ 4 + 6 + … + 2n
=
115 116
. (). Сумма m первых членов арифметической прогрессии оказалась равной сумме n первых её членов (n
= m). Найдите сумму m
+ n первых членов этой прогрессии. Сумма первых n членов и сумма первых m членов арифметической прогрессии равны m и n соответственно.
Найдите сумму первых m
+ n членов этой прогрессии. У чисел 1000 2
, 1001 2
, 1002 2
, отбрасываются последние три цифры. Найдите максимальное число первых членов этой последовательности, образующих арифметическую прогрессию. Числа x, y, z образуют арифметическую прогрессию. В каком порядке образуют арифметическую прогрессию числа+ 5xy + y
2
,
y
2
+ 5yz + z
2
,
2x
2
+ 3xz + 2z
2
?
.. Числа 18,
18 в данном порядке образуют геометрическую прогрессию. Найдите Ответы и решения. Разность прогрессии равна d =
49
− 9 1965
=
8 393
. Домножив числитель и знаменатель й дробина разность получим+ a
n
+1
=
a
n
+1
a
n
d
. Отсюда искомая сумма равна a
1
d
+ … +
a
1966
a
1965
d
=
a
1966
a
1
d
=
393 2

Ответ 2
.. Пусть эта сумма равна S. Тогда (10 1
− 1) + (10 2
− 1) + … + (10 1966
− 1) =
= 10 ·
10 1966
− 1 9
− Ответ 27
(10 1966
− 1) −
1966 3
.. Предположим, эти числа являются мм им членами некоторой арифметической прогрессии с разностью d. Тогда число a
=
5
− 3 3
− 2
=
kd
− рационально. Возводя это равенство в квадрат, находим, что a
2
(5
−2 6)=8−2 15. Отсюда следует, что рационально также и число b
= 15− 6a
2
=
8
−5a
2 Снова возводя в квадрат, приходим к соотношению+ 15 − b
2 Следовательно, число рационально, то есть
10
=
p
q
при некоторых натуральных p и q. Можем считать, что дробь
p
q
несократима (если это не так, поделим числитель и знаменательна наибольший общий делитель. Имеем 10q
2
= p
2
, откуда следует, что p –– чётное число, p
= 2t. Тогда 5q
2
= 2t
2
, и значит тоже чётно. Но это противоречит несократимости дроби. Полученное противоречие завершает доказательство. Предположим, что b
i
= 10, b
j
= 11 и b
k
= 12 –– члены геометрической прогрессии b
n
= b
1
· q
n
−1
. Тогда 10
= и 11
=
= q
k
j
, откуда 10
k
j
= q
(k
j)( ji)
=
12 11
j
i
. Не ограничивая общности, можем считать, что последовательность
|b
n
|
возрастает, то есть i
< j < k. Тогда получаем соотношение 10
k
j
· 12
j
i
, в котором все показатели степени –– натуральные числа. Но это невозможно, так как правая часть равенства чётная, а левая –– нет.
Ответ. Нет

.. Обозначим через d разность прогрессии. По условию+ a
9
+ a
12
+ a
15
= a
1
+ 5d + a
1
+ 8d + a
1
+ 11d + a
1
+ 14d =
= 4a
1
+ 38d = Значит, искомая сумма равна+ a
1
+ d + … + a
1
+ 19d = 20a
1
+ 190d = 5(4a
1
+ 38d) = Ответ.
100.
.. Указание. Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен p
c, где p –– полупери- метр, c –– длина гипотенузы. Пусть длины сторон треугольника равны x, x + 1, x + сантиметров. Наибольшая сторона x
+ 2 лежит напротив наибольшего угла треугольника, который по условию равен По теореме косинусов+ 2)
2
= x
2
+ (x + 1)
2
− 2 −
1 2
x(x
+ Отсюда 2x
2
x − 3 = 0 и x =
3 Ответ см см см. В результате однократного разбавления молока водой количество молока в чашке уменьшается в 2 раза. После шести таких операций останется чашки молока, остальное ––
вода.
Ответ.
63 64
.. Если q –– знаменатель прогрессии, тот. е. q = 1 или −1. Кроме того, a
1
= −1 по условию задачи.
Ответ. Две прогрессии. Обозначим й член последовательности через a
n
. Тогда 3S
n
+2
+ 3S
n
+1
S
n
=
= S
n
+3
S
n
+2
− 2(S
n
+2
S
n
+1
)
+ S
n
+1
S
n
=
= a
n
+2
− 2a
n
+1
+ a
n
= 0.
.. Пусть ABCD –– данный квадрат (см. рис. ). Расстояния от точки O до сторон AB, BC, CD и DA обозначим через a,
b, c и d соответственно. Квадрат симметричен относительно

y
x
a
d
c
b
A
= (1; 0)
B
C
= (0; Рис. Рис. своих диагоналей и серединных перпендикуляров к сторонам,
поэтому достаточно рассмотреть только те его точки, которые лежат внутри и на границе треугольника BMK, где M –– центр квадрата, K –– середина AB. Для таких точек, как нетрудно видеть. Введём систему координат с осями BA и и единицей масштаба по осям, равной стороне квадрата. Из равенств b
+ d = 1, b a = d b получаем соотношение на координаты точки O: 3b
a = 1. В треугольнике BMK оно задаёт отрезок прямой 3x
y = 1. Полностью искомое геометрическое место –– объединение восьми отрезков (см. рис. Ответ на рисунке .
.. Обозначим й член прогрессии через a
n
, её разность через d. Тогда условия задачи запишутся в виде системы+ a
10 2
· 10 = 100,
a
1
+ a
100 2
· 100 = или+ 9d = 20,
2a
1
+ 99d =
1 Отсюда d
= −
11 50
. Сумма первых 110 членов прогрессии равна+ 109d
2
· 110 =
(2a
1
+ 9d) + 100d
2
· 110 =
=
20
+ 100d
2
· 110 = Ответ

.. Применив формулу суммы арифметической прогрессии,
получим
n
2
n(n
+ 1)
=
115 116
, откуда n
= Ответ.
115.
.. Пусть n < m. Тогда по условию a
n
+1
+ a
n
+2
+ … + a
m
= откуда (a
n
+1
+ a
m
)
+ (a
n
+2
+ a
m
−1
)
+ … + (a
m
+ a
n
+1
)
= 0. Из определения арифметической прогрессии следует, что суммы в скобках равны между собой, и стало быть, каждая из них равна нулю. По той же причине равна нулю каждая скобка в сумме
(a
1
+a
m
+n
)
+(a
2
+a
m
+n−1
)
+…+(a
n
+1
+a
m
)
+…+(a
m
+n
+a
1
),
которая вдвое больше искомой величины.
Ответ. 0.
.. Указание. См. решение задачи Ответ
n.
.. Поскольку (1000 + a)
2
= 1 000 000 + 2000a + a
2
, отброшенные цифры –– это последние цифры числа a
2
. До тех пор,
пока a
2
–– не более чем трёхзначное число, полученная последовательность будет арифметической прогрессией с разностью. При a
2 1000 эта закономерность нарушится.
Ответ. 32.
.. Пусть 4x
2
+ 20xy + 4y
2
,
B
= 4y
2
+ 20yz + 4z
2
,
C
= 8x
2
+ 12xz + По условию 2 y
= x + z. Отсюда 15x
2
+ 12xz + z
2
,
B
= x
2
+ 12xz + Заметим, что C
=
A
+ B
2
, и значит, арифметическую прогрессию образуют числа A, C, B или B, C, Ответили те же числа в обратном порядке. Из условия следует, что 18 1
/3−1/k
= 18 1
/2−1/3
. Значит Ответ. k

= 6.

Решите сами. Известен шестой член геометрической прогрессии.
Найдите произведение первых одиннадцати её членов. Конечное множество последовательных натуральных чисел, начиная с 1, написано на доске. Одно число стёрли.
Среднее арифметическое оставшихся чисел равно 35 7
17
. Какое число стёрли?
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   19

перейти в каталог файлов
связь с админом