Главная страница

А. Н. Колмогорова полное название Специализированный учебно-научный центр Московского государственного университета имени мв. Ломоносова, предъявляются два основных требования. Во-первых, необходимо владеть знаниями


Скачать 0.98 Mb.
НазваниеА. Н. Колмогорова полное название Специализированный учебно-научный центр Московского государственного университета имени мв. Ломоносова, предъявляются два основных требования. Во-первых, необходимо владеть знаниями
Анкор18×
Дата04.11.2018
Размер0.98 Mb.
Формат файлаpdf
Имя файла18_215_18_Vstupitelnye_zadachi_FMSh_pri_MGU.pdf
оригинальный pdf просмотр
ТипКнига
#48039
страница6 из 19
Каталогid3453405

С этим файлом связано 25 файл(ов). Среди них: Shkolny_etap_5_klass_uslovia.pdf, Построение сечений элементарными средствами Урок№4.ppt.ppt, Prasolov_Zadachi_po_planimetrii.pdf, Vilenkin_N_Ya_i_dr_Fakultativny_kurs_Izbrannye_voprosy_matematik, Kiselev_A_P_Pod_red_Glagoleva_N_A_Geometria.pdf, 9_klass.pdf, Shkolny_etap_4_klass_otvety.pdf, 2_Trigonometria_Falin_G_I.pdf и ещё 15 файл(а).
Показать все связанные файлы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   19
(). Числа a
1
, a
2
, a
3
, образуют арифметическую прогрессию. Известно, что a
4
+ a
5
+ a
6
+ … + a
14
= 110. Найдите сумму a
5
+ a
13
(). Найдите сумму всех трёхзначных положительных чётных чисел, меньших 900, которые делятся на 3 нацело. В геометрической прогрессии a
10
= 8. Найдите a
2
· … · a
19
(). Три целых числа образуют геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 8, то прогрессия сделается арифметической, но если после этого увеличить последний член на 64, то прогрессия снова сделается геометрической.
Найдите эти числа. Для данных натуральных чисел m = n и арифметической прогрессии a
1
, a
2
, известно, что a
m
= −n и a
n
= Найдите a
m
+n
(). Числа x
2
, y
2
, образуют арифметическую прогрессию. В каком порядке образуют арифметическую прогрессию числа y
,
1
z
y
,
1
x
+ z
?
(). Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна 13, а сумма их квадратов равна 91. Найдите эти три числа. Числа a, 2b, 6c образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию, а неравные между собой числа a,
b, 2c образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию. Найдите знаменатель этой геометрической прогрессии

 (). Найдите сумму цифр всех десятизначных чисел. Найдите все такие четвёрки чисел, в которых первые три числа образуют арифметическую прогрессию, три последних числа образуют геометрическую прогрессию, сумма второго и третьего чисел равна 12, а сумма первого и четвёр- того чисел равна Литература поте м е Мордкович А. Две дюжины задач на прогрессии // Квант. № . С. –– .
[2] Лебедев В. Некоторые задачи на прогрессии // Квант. .
№ . С. –– .

Тема Текстовые задачи:
движение, работа, проценты,
целые числа
Т е ори я. При равномерном движении пройденный путь s, время и скорость v связаны соотношением v · В задачах на выполненную работу s –– это объём работы –– производительность. Если некоторую работу выполняют n рабочих, причём,
работая в одиночку, й рабочий тратит время t
k
, то время,
затраченное при их совместной работе, равно 1
t
1
+
1
t
2
+ Доказательство аналогично решению задачи ..


. При смешивании кг раствора (смеси, сплава и. т. п.),
содержащего p
1
% вещества A, и кг раствора, содержащего вещества A, получается m
1
+ кг раствора с содержанием вещества Задачи. Два гвоздя и три шурупа весят 14 г. Семь винтов,
три гвоздя и один шуруп весят 21 г. Сколько весят вместе один гвоздь, один винти один шуруп. Школьники седьмых и восьмых классов собрали кг металлолома, причём каждый из семиклассников собрал по 17 кг, а каждый из восьмиклассников –– по 19 кг. Какое наименьшее число школьников могло участвовать в сборе металлолома

. (). Если первый автомобиль сделает 4 рейса, авто- рой –– 3 рейса, то они вместе перевезут меньше 21 тонны груза. Если же первый автомобиль сделает 7 рейсов, а второй ––
4 рейса, то они вместе перевезут больше 33 тонн груза. Какой автомобиль имеет большую грузоподъёмность?
. (). В почтовом киоске имеются марки по 1 копейке,
открытки по 3 копейки, конверты по 4 копейки и авиакон- верты по 7 копеек. Ученик купил 17 предметов, истратив при этом 61 копейку. Купил ли он хотя бы одну открытку. Пройдя длины моста AB, человек услышал сзади гудок приближающегося к мосту автомобиля. Если человек побежит навстречу автомобилю, то он встретится с ним в если в противоположную сторону, тов. С какой скоростью бегает человек, если скорость автомобиля 60 км/час?
. (). Разочарованный вкладчик фонда «Нефтьалмазин- вест» разорвал акцию на 8 кусков. Не удовлетворившись этим,
он разорвал один из кусков ещё на 8, и. т. д. Могло ли у него получиться 1994 куска. Прозвенел звонок с последнего урока, и ученики устремились в столовую. Пошёл туда и учитель. Ученики проголодались сильнее и прибежали в столовую быстрее. В этот момент учитель прошёл 80 метров. Но учеников без учителя кормить не стали, и они побежали назад. Когда они встретились с учителем, он прошёл ещё 16 метров. Определите расстояние от класса до столовой
(). Средний возраст группы из врачей и больных равен лет. Средние возрасты отдельно врачей и отдельно больных равны 35 и 50 лет соответственно. Кого больше врачей или больных И во сколько раз (). В коробке находятся красные, белые и голубые шары. Число голубых шаров не меньше числа белых шаров и не больше одной трети красных шаров. Общее число белых иго- лубых шаров не меньше 55. Найдите минимально возможное число красных шаров

. (). Пешеход вышел изв, чтобы прийти в B через часа. Одновременно из B выехал велосипедист, который проезжает это расстояние за один час. Через 48 минут после их встречи изв выехал другой велосипедист, который проезжает этот путь за 2 часа. За сколько минут до своего прибытия в B пешеход встретится со вторым велосипедистом (). В результате инфляционных процессов цены выросли на 900 %. Оппозиция потребовала от правительства возвращения цен к прежнему уровню. Насколько должны быть уменьшены цены. Четыре мотоциклиста одновременно стартовали водном направлении из одного пункта вгонке по кольцевой трассе. В некоторый момент все мотоциклисты поравнялись друг с другом. Известно, что до этого момента первый мотоциклист обогнал второго 1 раз, второй мотоциклист обогнал третьего 3 раза, третий мотоциклист обогнал четвёртого 2 раза. Сколько раз до этого момента первый мотоциклист обогнал четвёртого?
. (). Через один кран вода заполняет бак за 3 часа, через второй –– за 9 часов. За какое время вода заполнит бак,
если открыть оба крана. Три землекопа, работая одновременно, выкопали за 1 час работы траншеи. Известно, что если бы каждый из них копал траншею самостоятельно, то ему на всю работу потребовалось бы целое число часов. Известно также, что землекопы работают с разной скоростью. Выясните, за сколько часов выкопает траншею каждый из них. Свежие сливы содержат 94 % воды, а сушёные ––
4 % воды. Сколько получится сушёных слив из 12 кг свежих. Имеется 1 кг 3,5 го раствора соли вводе и 1 кг го раствора. Можно ли путём смешивания получить кг 1,5 го раствора соли вводе. У восьми школьников имеются 7 рублей 19 копеек. Известно, что у любых двух школьников различные суммы
денег, причём у одного из них в целое число раз больше денег,
чем у другого. Сколько денег у каждого школьника (). Три фермера отправились на базар для продажи баранов. Первый пригнал 10 баранов, второй –– 16, третий ––
26. Каждый продал часть своих баранов (не менее одного, ноне всех) в течение первого дня, причём все они продавали по одной цене, не менявшейся в течение всего первого дня.
На второй день цена на баранов упала, и фермеры, опасаясь дальнейшего понижения цен, немедленно продали остальных баранов, снова по одинаковой цене. Сколько стоили бараны в первый день и во второй день, если каждый из фермеров выручил 3500 рублей?
О т в е ты и решения. Набор из 7 гвоздей, 7 винтов и 7 шурупов –– это два набора по 14 г и один набор по 21 г, поэтому его вес равен 49 г.
Ответ. 7 г. По условию задачи составим уравнение 17x + 19y = где x, y –– целые неотрицательные числа. Выразим x:
x
=
1987
− 19y
17
= 117 − y
2
+ откуда z
=
2
+ 2y
17
–– целое число. Значит, 2 y
+ 2 = 17z, те
––
чётное число, z
= 2k, где k –– целое. Возвращаясь к переменными, получим y
= 17k − 1, x = 118 − 19k. Из условий, y
0 получим неравенства 1
k
6. Общее количество школьников равно x
+ y = 117 − 2k, оно минимально при 6 (при этом x = 4, y = Ответ.
105.
.. Пусть грузоподъёмность первого автомобиля составляет тонн, второго –– y тонн. Условия задачи записываются в виде системы+ 3y < 21,
7x
+ 4y > На плоскости переменных (x; y) каждое неравенство зада-
ёт полуплоскость безграничной прямой (см. рис. ). Поло

y
x
3 Рис. 
жительные решения этой системы заполняют внутренность треугольника, где A(3; 3) –– точка пересечения прямых 4x
+ 3y = 21 и 7x +
+ 4y = 33, B и C –– точки пересечения этих прямых с осью Ox. Все эти решения лежат в полуплоскости y.
Ответ.
Первый автомобиль имеет б´
oльшую грузоподъёмность.
.. Указание. Записав условие в виде уравнений, покажите, что количество купленных открыток не кратно трём.
Ответ. Да. Указание. Удобно изобразить движение человека и автомобиля на плоскости переменных s, Ответ. 15 км/ч.
.. После того как один из кусков разрывается на 8 частей,
количество кусков увеличивается на 7. Вначале был 1 кусок акция. Значит, в конце получится 1
+ 7n кусков, где n –– целое число. Число 1994 при делении на 7 даёт остаток 6, значит,
такого быть не могло.
Ответ. Нет. Пусть l –– расстояние от класса до столовой, и v
2
–– скорости учителя и учеников соответственно. Когда ученики добежали до столовой, учитель прошёл 80 метров, поэтому. Пока учительш л следующие 16 метров, ученики пробежали метров. Следовательно 96
. Приравнивая полученные выражения для отношения, находим,
что l
= Ответ.
120 метров. Пусть B –– количество врачей, k · B –– количество больных.
Тогда суммарный возраст врачей составит 35B лет, больных ––


50kB лет. Отсюда имеем 35B
+ 50kB = 40(B + kB). Из этого уравнения получаем, что k
= Ответ. В этой больнице врачей вдвое больше, чем больных. Пусть K, G, B –– количества красных, голубых и белых шаров соответственно. По условию задачи B
G
K
3
. Отсюда+ B
2K
3
, K
83. При K
= 83 получаются неравенства, которые противоречат условию 55
G
+ B. При 84 нужную конфигурацию нетрудно подобрать. Например, подходит B
= G = Ответ.
84.
.. Так как скорость пешехода в четыре раза меньше скорости первого велосипедиста, ток моменту их встречи он пройд т всего пути, то есть встреча произойдёт через 5
· 4 часа 48 минут.
Так как второй велосипедист выехал через 48 минут, ток этому моменту пешеход прошёл ещё
1 часть пути. Поскольку скорость пешехода в два раза меньше скорости второго велосипедиста, ток моменту их встречи он пройдёт
1 оставшегося пути (или исходного. Оставшиеся пути он пройдёт за 2
· 48 мин = 96 мин.
Ответ. 96 минут. После роста цен товар стоимостью a тугриков стал стоить тугриков. Значит, для возвращения к прежней стоимости он должен подешеветь на 9a тугриков, что составляет 90 % его новой цены.
Ответ. На 90 %.
.. Если один мотоциклист обогнал другого n раз, значит, он проехал на n
+ 1 круг больше. Пусть четвёртый мотоциклист проехал x кругов, тогда третий проехал x
+ 3 круга, а второй проехал x
+ 3 + 4 круга. Следовательно, первый мотоциклист проехал x
+ 7 + 2 кругов, те. на 9 кругов больше, чем четвёр- тый, а значит, обогнал его 8 раз.
Ответ. 8 раз

.. Скорость наполнения для первого крана составляет бака в час, для второго ––
1 бака в час. Вместе два крана наполняют бак со скоростью 3
+
1 9
=
4 бака в час. Тогда время наполнения составит 4
часа.
Ответ. 2 часа 15 минут. Если землекоп выкапывает траншею за n часов (n –– натуральное число, то за один час он выкапывает
1
n
часть траншеи. Таким образом, для решения задачи нужно найти несов- падающие натуральные числа k, m, n, удовлетворяющие равенству Будем считать, что 1
< k < m < n. Поскольку 4
+
1 5
+
1 6
=
37 60
<
7 получаем k
< 4. Если k = 2, то m и n удовлетворяют равенству 5
. В нём 5
< m < 10. Перебором получаем единственное решение m
= 6, n = Если k
= 3, то 30
. Здесь 3
< m < 6. Подходит только пара m
= 5, n = Ответ. Возможны два варианта а) 2, 6, 30 часов б) 3, 5,
6 часов.
12 кг свежих слив содержат 0,72 кг те) сухого вещества, что по условию составляет 96 % отвеса сушёных слив.
Значит, сушёные сливы весят 0,72
·
100 96
кг.
Ответ. 0,75 кг. Указание. Воспользуйтесь утверждением Ответ. Да. Пусть й школьник имеет копеек, причём a
1
< a
2
<

< a
8
. По условию a
i
+1
= k
i
a
i
, где k
i
–– целые числа и Тогда общая сумма денег равна+ a
2
+ … + a
8
= a
1
(1
+ k
1
(1
+ k
2
(…(1
+ k
7
))))
= Коль скоро 719 –– простое число, a
1
= 1, откудa
k
1
(1
+ k
2
(…(1
+ k
7
)))
= 718 = 2 · 359.

Число 359 также простое, поэтому k
1
= 2, и уравнение принимает вид+ k
3
(…(1
+ k
7
)))
= 358 = 2 · Повторяя это рассуждение ещё дважды, найдём, что k
2
= k
3
=
= 2 и+ k
5
(1
+ k
6
(1
+ k
7
)))
= 88 = 2 3
· Выражение в скобках не меньше 15 (равенство достигается при k
5
= k
6
= k
7
= 2), поэтому k
4
< 8. Если k
4
= 2, то+ k
6
(1
+ k
7
))
= что невозможно, так как 43 –– простое число. Значит, k
4
= Тогда+ k
6
(1
+ k
7
))
= 21 = 3 · Если k
6
= k
7
= 2, то+ k
6
(1
+ k
7
)
= следовательно, k
5 3 при любых k
6
, k
7 2. Отсюда k
5
= 3,
k
6
= k
7
= 2. Возвращаясь к переменным a
1
, …, a
8
, получим ответ.
Ответ. 1, 2, 4, 8, 32, 96, 192 и 384 копейки. Предположим, что в первый день цена одного барана составляла x руб, во второй день –– y руби в первый день торговли первый фермер продал a баранов, второй –– b, третий. Тогда+ (10 − a)y = bx + (16 − b)y = cx + (26 − c)y = Из этих равенств получаем систему b)(x y) = 6y,
(b
c)(x y) = откуда b
b
c
=
3 Единственной тройкой целых чисел, удовлетворяющих последнему условию и неравенствам 1
c
< b < a 9, является тройка a
= 9, b = 6, c = 1. Подставив эти значения в систему,
найдём, что x
= 3y. Теперь из первого уравнения получаем цену барана во второй день y
= 125.

Ответ. В первый день цена барана 375 рублей, во второй рублей.
Р е шит е сами. Одну треть пути человек прошёл пешком со скоростью км/ч, вторую треть пути проехал на велосипеде со скоростью км/ч, а оставшуюся часть пути проехал на мотоцикле со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость движения человека. Если первый экскаватор проработает 5 часов, авто- рой 3 часа, то вместе они выкопают траншею длиной меньше метров. Если же первый проработает 2 часа, а второй часов, то они выкопают траншею длиной больше 27 метров.
Производительность какого из экскаваторов больше. В копилке находятся 23 медяка, которые в сумме составляют копеек. Можно ли утверждать, что в копилке имеется двушка (Примечание медяки –– это медные монеты достоинством копеек. Три комбайна разной производительности убрали урожай с поля за 1 дня. За сколько дней убрал бы урожай каждый из них, если для каждого комбайна это число дней целое Считается, что комбайны работают с постоянной скоростью. По шоссе в одну сторону с постоянными скоростями движутся автомобиль и мотоциклиста навстречу им с постоянной скоростью идёт пешеход. Когда автомобиль и мотоциклист были водной точке, до пешехода было 30 км. Когда автомобиль и пешеход встретились, мотоциклист отстал от автомобиля на 5 км. Насколько километров обогнал автомобиль мотоциклиста на момент встречи мотоциклиста и пешехода. Периметр квадрата сначала увеличили на 60 %, аза- тем уменьшили на 60 %. Как и во сколько раз изменилась площадь квадрата. Мимо наблюдателя по проспекту Маршала Гречко проехали с равными промежутками времени автобус, мотоцикл и бронетранспортёр. Мимо другого наблюдателя на той же дороге они проехали с такими же промежутками, нов другом порядке автобус, бронетранспортёр, мотоцикл. Найдите скорость автобуса, если скорость бронетранспортёра 60 км/ч,
мотоцикла –– 30 км/ч.
(). В 1996 году объём добычи на двух шахтах относился как 2 : 3. В 1997 году объём добычи на первой шахте сократился на 40 %, а на второй шахте вырос на 20 %. Насколько процентов уменьшилась суммарная добыча угля на двух шахтах. Ученик гулял 5 часов –– сначала он шёл по горизонтальной дороге, затем поднялся в гору и, наконец, по старому маршруту возвратился назад в исходный пункт. Скорость гуляющего была 4 км/ч на горизонтальном участке пути, 3 км/ч при подъёме в гору и 6 км/ч при спуске с горы. Найдите пройденное этим учеником расстояние. Морская вода содержит 5 % соли (по массе. Сколько чистой воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы содержание соли стало равно 1,5 %?
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   19

перейти в каталог файлов
связь с админом