Главная страница

А. Н. Колмогорова полное название Специализированный учебно-научный центр Московского государственного университета имени мв. Ломоносова, предъявляются два основных требования. Во-первых, необходимо владеть знаниями


Скачать 0.98 Mb.
НазваниеА. Н. Колмогорова полное название Специализированный учебно-научный центр Московского государственного университета имени мв. Ломоносова, предъявляются два основных требования. Во-первых, необходимо владеть знаниями
Анкор18×
Дата04.11.2018
Размер0.98 Mb.
Формат файлаpdf
Имя файла18_215_18_Vstupitelnye_zadachi_FMSh_pri_MGU.pdf
оригинальный pdf просмотр
ТипКнига
#48039
страница7 из 19
Каталогid3453405

С этим файлом связано 25 файл(ов). Среди них: Shkolny_etap_5_klass_uslovia.pdf, Построение сечений элементарными средствами Урок№4.ppt.ppt, Prasolov_Zadachi_po_planimetrii.pdf, Vilenkin_N_Ya_i_dr_Fakultativny_kurs_Izbrannye_voprosy_matematik, Kiselev_A_P_Pod_red_Glagoleva_N_A_Geometria.pdf, 9_klass.pdf, Shkolny_etap_4_klass_otvety.pdf, 2_Trigonometria_Falin_G_I.pdf и ещё 15 файл(а).
Показать все связанные файлы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   19
 (). Из 100 кг 2 го раствора соли вводе выпариванием воды получаем 20 й раствор. Сколько килограммов воды выпарено. Человек обычно приезжал на станцию одними тем же поездом. К этому времени за ним приходила машина и отвозила его домой. Однажды он приехал на 1 час раньше, пошл пешком, встретил по дороге машину и вернулся домой на минут раньше обычного. Сколько времени он шёл пешком?
Л и тер ату р а поте м е Кордемский Б. Графики в задачах на равномерные процессы Квант. . № . С. –– .
[2] Азия А, Вольнер И. Квадрат Пирсона // Квант. . № С. .
[3] Савин А. Для чего нужны проценты // Квант. . № С. –– .


[4] Розенталь А. Встречи в океане // Квант. . № . С. ––
.
[5] Шарыгин И. Арифметические текстовые задачи на вступительном экзамене // Квант. . № . С.  –– .
[6] Лобанова О. Задачи на движение // Квант. . № С. –– .
[7] Петров В. Коварные проценты // Квант. . № . С. ––
.

Тема Логические задачи
Т е ори я. Принцип Дирихле. Если в n клетках сидит n + 1 кролик, то хотя бы водной из клеток сидит не меньше двух кро- ликов.
З ада ч и (). В клетках прямоугольной таблицы написаны числа,
каждые два из которых различны, причём в каждой клетке, не лежащей на краю, стоит число, равное среднему арифметическому четырёх соседних чисел. Докажите, что самое большое число стоит с краю таблицы. В колхозе имеется стадо из 1000 свиней. Каждые две свиньи отличаются повесу не более чем на 20 килограммов. Докажите, что колхоз может сдать всех свиней мясокомбинату, разделив их на два стада, отличающиеся повесу не более чем на 20 килограммов. На каждую из двух чашек весов положено по k гирь так, что правая чашка перевешивает, но если поменять местами любые две гири (по одной из каждой чашки, то правая чашка перестанет перевешивать. При каких значениях k это возможно. Пятнадцать девятиклассников и пятнадцать десятиклассников выстроились в две шеренги –– десятиклассники за девятиклассниками. Оказалось, что каждый ученик во второй шеренге вышестоящего передним. Затем в каждой шеренге ученики перестроились по росту. Докажите, что по- прежнему каждый десятиклассник выше девятиклассника,
стоящего передним. Какое наименьшее число разломов необходимо сделать, чтобы разломать плитку шоколада размером 7
× квадратиков на отдельные квадратики. В чемпионате страны по хоккею участвуют 10 команд. Какое наименьшее число матчей должно быть проведено, чтобы среди любых трёх команд нашлись две, уже игравшие между собой. Может ли прямая пересекать все стороны невыпук- лого двенадцатиугольника?
. (). У продавца заведомо неточные весы (коромысла весов разной длины. Зная это, продавец отвешивает каждому покупателю половину товара на одной чашке весов, а половину на второй чашке, думая, что он этим компенсирует неточность весов. Так ли обстоит дело в действительности (). Вт мной комнате стоит ящик с 4 парами ботинок двух разных размеров и двух разных фасонов, причём все пары разные. Какое наименьшее количество ботинок нужно взять, чтобы среди них наверняка нашлась какая-нибудь пара Времени на примерку в темноте нет. Одни часы спешат на одну минуту вдень, а вторые отстают на полторы минуты вдень. Если эти часы показывают правильное время, то через какой промежуток времени они снова будут показывать правильное время (). На карточке написаны следующие утверждения,
каждое из которых может быть истинным или ложным. На карточке ровно одно утверждение ложно. На карточке ровно два утверждения ложны. На карточке ровно три утверждения ложны. На карточке ровно четыре утверждения ложны.
Сколько ложных утверждений на этой карточке. В первый день своих дневных летних каникул
Серёжа купался, ходил в соседнюю деревню за шоколадками и решал задачи для подготовки к обучению в колмогоровском интернате. От этого он очень устали в дальнейшем решил купаться через день, ходить за шоколадками каждый й день
и решать задачи каждый й день (считая с первого дня).
Сколько у него будет приятных дней, когда он будет только купаться. В теннисном турнире играли n женщин и 2n мужчин, причём каждый участник встретился по одному разу со всеми остальными участниками. Отношение числа матчей,
выигранных женщинами, к числу матчей, выигранных мужчинами, равно 5
. Найдите минимальное число участников турнира. На поле брани встретились армии Толстых и Тонких, по 1000 человек в каждой. Сначала каждый Толстый выстрелил водного из Тонких. Затем каждый уцелевший Тонкий выстрелил водного из Толстых. После этого у армий кончились патроны. Докажите, что в живых осталось не менее солдат. Четыре ученицы Мария, Нина, Ольга и Полина заняли на олимпиаде первые места. На вопрос, кто из них какое место занял, они ответили) Ольга –– второе, Полина –– третье) Ольга –– первое, Нина –– второе) Мария –– второе, Полина –– четвёртое.
В каждом из трёх ответов одна часть верна, а другая неверна.
Какое место заняла каждая из учениц. По статистике водном портовом городе 90 % населения умеет изъясняться по-английски, 85 % –– по-немецки,
80 % –– по-французски и 75 % –– по-испански. Какой наибольший и наименьший процент населения при этих данных может изъясняться на всех четырёх языках сразу. Три футбольные команды сыграли друг с другом по одинаковому числу матчей. Могло ли так случиться, что команда, набравшая наибольшую сумму очков, выиграла наименьшее количество матчей, и наоборот (Выигрыш ––  очка,
проигрыш –– очков, ничья ––  очко (). Водной из трёх коробок сидит таракан. На коробках написаны утверждения, из которых верно ровно одно на
первой коробке написано Остальные коробки пусты, на второй Таракан не здесь, а на третьей –– Таракан не впервой коробке. В каких коробках при этих условиях может сидеть таракан?
О т в е ты и решения. Предположим, что самое большое число стоит нес краю.
Тогда каждое из четырёх соседних с ним чисел меньше его,
значит, и их среднее арифметическое меньше, а это противоречит условию. Пусть вначале каждое стадо состоит из одной свиньи.
Тогда по условию разница между ними в весе не превосходит килограммов. Обозначим веса этих стад буквами A и B,
причём для определённости будем считать, что A
B. Из оставшихся свиней возьмём любых двух. Пусть они имеют веса и b, a
b. Добавляя более лёгкую свинью в более тяж- лое стадо, а вторую –– в более лёгкое, получим два стада с весами и B + a. При этом из неравенств 0
B
A и 0
b
a 20 следует, что −20 B + a − (A + b) 20, те. получившиеся два стада по-прежнему отличаются повесу небо- лее чем на 20 килограммов. Будем добавлять по одной свинье к каждому стаду в соответствии стем же правилом до тех пор,
пока в них не окажутся все свиньи. Получившиеся два стада удовлетворяют условию. Пусть a
1
a
2

a
k
–– веса гирь на левой чашке весов веса гирь на правой чашке весов. Согласно условию задачи = b
1
+ b
2
+ … + b
k
a
1
a
2
− … − a
k
> При перестановке гирь и правая чашка весов перестаёт перевешивать, поэтому = b
1
a
k
> 0. После такой перестановки весы либо находятся в равновесии, либо перевешивает левая чашка, следовательно+ a
2
+ … + a
k
−1
+ b
1
b
2
+ b
3
+ … + b
k
+ a
k

Полученное неравенство дат =
= (b
2
+b
3
+…+b
k
+a
k
)
−(a
1
+a
2
+…+a
k
−1
+b
1
)
+2b
1
−2a
k
2b
1
− 2a
k
= С другой стороны = (b
1
a
k
)
+ (b
2
a
k
−1
)
+ … + (b
k
− Из неравенств k
δ Δ 2δ находим, что k 2. Случай k = очевиден. При k
= 2 условию задачи, например, удовлетворяет набор гирь с весами a
1
= a
2
= 1, b
1
= b
2
= Ответили. Пусть a
1
a
2

a
15
–– рост десятиклассников, b
1
b
2

b
15
–– рост девятиклассников. Предположим, что
a
k
b
k
для какого-то значения k. Тогда при первой расстановке учеников за девятиклассниками с ростом b
k
, b
k
+1
, …, могли стоять только десятиклассники с ростом a
k
+1
, …, поскольку остальные десятиклассники ниже ростом. Очевидно, это невозможно. Значит, a
k
> при всех k, то есть при второй расстановке каждый десятиклассник оказался вышестоящего передним девятиклассника. Указание. См. решение задачи Ответ. .
.. Разделим команды на две группы по 5 команд. Проведём всевозможные матчи внутри каждой группы. В любой тройке команд найдутся две команды из одной группы, поэтому при таком расписании игр условие задачи будет выполнено. Чтобы любые две команды одной группы сыграли между собой,
нужно провести C
2 5
= 10 матчей (тема , 

). Значит, всего достаточно матчей.
Покажем, что меньшим количеством матчей обойтись не удастся. Пусть при некотором расписании игр выполнено условие задачи. Рассмотрим команду A, которая провела наименьшее количество игр –– k. Из группы команд, с которыми не играла (таких команд 9
k), выберем любые две. Вместе сони образуют тройку, где по условию был сыгран хотя
бы один матча именно матч между этими двумя командами.
Таким образом, среди команд, не игравших с A, любые две играли между собой. Значит, в этой группе команд было сыграно матчей. При k
< 3 это количество уже превышает 20. Если k
> 3, то каждая команда сыграла как минимум матча, а общее количество игр не меньше 10 2
= в каждой игре участвуют две команды, отсюда двойка в знаменателе. Остаётся рассмотреть случай k
= 3. В этом случае команды, не игравшие с A, провели между собой C
2 6
= 15 матчей, ещё три матча сыграно командой A команды, с которыми играла A, назовём B, C и D). В тройке B, C, D также ка- кие-то две команды играли между собой (пусть это команды и C), и это уже девятнадцатый матч. Но этих девятнадцати матчей не хватает, ибо остались ещё тройки команд, между которыми игры совсем не проводились. Например, такой тройкой будут команды B, D и любая из команд, не игравших с A. Значит, ив этом случае общее количество матчей не меньше Ответ. 20.
.. Указание. Для заданной прямой можно нарисовать двена- дцатиугольник, любые две соседние вершины которого располагаются в разных полуплоскостях.
Ответ. Да. Примем длину левого коромысла за 1, длину правого обозначим. Если продавец, отмеряя товар, по очереди ставит гирю в m килограммов на правую и левую чашки весов, то он отмерит ms и
m
s
килограммов товара соответственно. Таким образом, покупатель вместо 2m килограммов получит килограммов товара. По неравенству между средним арифметическими средним геометрическим ms Отсюда 2m
< ms неравенство строгое, ибо по условию, и значит, в результате своих махинаций продавец остаётся в убытке

.. Пяти ботинок достаточно в соответствии с принципом
Дирихле. Меньшим количеством обойтись нельзя, так как они все могут оказаться левыми.
Ответ. .
.. Указание. Определите вначале, через какой промежуток времени показывают правильное время каждые часы по от- дельности.
Ответ. 1440 дней. Заметим, что высказывания противоречат друг другу, поэтому среди них не более одного истинного. Значит, одно из высказываний или  истинно.
Ответ. .
.. Указание. Воспользуйтесь формулой включений и исключений (тема Ответ.
24 дня. Указание. Общее количество сыгранных матчей кратно Ответ.
9.
.. Пусть x –– количество уцелевших Тонких, y –– количество уцелевших Толстых. Количество убитых Толстых не превосходит числа уцелевших Тонких, то есть x
1000
y. Поэтому+ y 1000.
.. Из первого и третьего ответов следует, что второе место заняла либо Ольга, либо Мария, а значит, не Нина. Тогда из второго ответа получаем, что победила Ольга. Полина заняла третье место (из первого ответа, Мария –– второе (из третьего ответа).
Ответ. Ольга –– , Мария –– , Полина –– , Нина –– .
.. Наибольший процент не может превышать 75 % –– количества испаноговорящих жителей города. Это достигается, если каждый испаноговорящий житель может изъясняться и на остальных трёх языках.
Найдём наименьший процент. Жителей, говорящих на английском и немецком языках, не менее 75 %. Действительно,
предположим, что таких жителей x %. Тогда по принципу
включений и исключений (тема ) доля жителей, говорящих хотя бы на одном из этих языков, составляет 90
+ 85 − x =
= 175 − x %, откуда x
75. Аналогично получим, что не менее говорят и на французском, и на испанском. Пусть
% жителей –– полиглоты, владеющие всеми четырьмя языками. Тогда тех, кто знает хотя бы один из этих языков, не менее 75
+ 55 − y = 130 − y процентов, и значит, y Значение y
= 30 возможно. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим следующее распределение языков 30 % жителей владеют всеми четырьмя языками, 25 % –– английским, немецкими французским, 20 % –– английским, немецкими испанским английским, французскими испанским, остальные немецким, французскими испанским. Такое распределение удовлетворяет условиям задачи.
Ответ. 75 %, 30 %.
.. Да, могло. Примером может служить приведённая турнирная таблица:
Выигрыши
Ничьи
Поражения
Очки
A




B




C




Она реализуется при следующем балансе встреч A в играх с имеет 3 победы и 3 поражения, в играх с С –– 1 победу, 3 ничьи и 2 поражения, B и C сыграли 6 матчей вничью. Таким образом, каждая команда играла с каждой другой 6 раз. Указание. Посадите таракана по очереди в каждую коробку и посмотрите, сколько надписей окажутся верными.
Ответ. Во второй.
Р е шит е сами. Даны три сосуда ёмкостью 3, 5 и 8 литров. Восьми- литровый заполнен водой. Используя три эти сосуда, разлейте воду на две части по 4 литра

(). Может ли сумма 1995 последовательных натуральных чисел быть й степенью натурального числа. Для участников экзамена в ФМШ было приготовлено конфет столько же, сколько вместе булочек и стаканов чая.
Каждый школьник съел по конфете и выпил по стакану чая,
после чего осталось стаканов чая и конфет вместе столько же,
сколько булочек. Остался ли ещё чай?
М

У ХА ХА ХАУ ХА КХА Р
У

Х АУ ХА. Расшифруйте ребус (одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным –– разные. Цифры от 1 до 9 записаны в порядке возрастания. Расставьте в некоторых промежутках между ними знаки арифметических действий и скобки так,
чтобы после выполнения этих действий получилось число 100. Найдите возможно большее число решений. Трое учеников договорились, кто из них будет всегда говорить правду, а кто –– всегда ложь. Учитель спросил у каждого из них Сколько из вас говорят правду, а сколько ложь Первый мальчик ответил Двое говорят правду,
а один лжёт». Второй сказал Один говорит правду, а двое лгут. А третий сказал Все трое лгут. Сколько мальчиков говорят правду, а сколько лгут. Про некоторую школу известно, что не все старшеклассники играют в шахматы и школьники, играющие в футбол, ноне играющие в шахматы, не учатся в старших классах.
Следует ли отсюда, что в этой школе не все старшеклассники играют в футбол?
Л и тер ату р а поте м е Орлов А. Принцип Дирихле // Квант. . № . С. –– .
[2] Балк М. Такой невероятный турнир. // Квант. . № С. –– .


[3] Дейнега А. Логические задачи и неравенства // Квант. № . С. ––.
[4] Никольская И. Неверно, что –– как это понимать Квант. . № . С. –– .
[5] Бартенев Ф, Никольская ИО пользе нелепостей // Квант. № . С. –– .
[6] Никольская И, Саблина НА если, что тогда // Квант. № . С. –– .
[7] Львовский С, Тоом А. Можно и нельзя // Квант. . № С. –– .
[8] Розенталь А. Правило крайнего // Квант. . № . С. ––
.
[9] Орлов А. Все, некоторые и отрицание // Квант. .
№ . С. –– .

Тема 
Комбинаторика
Т е ори я. Правило суммы. Если элемент a можно выбрать m способами, а элемент b –– n способами, причём любой выбор элемента независим от выбора элемента b, то выбор «a или можно сделать m
+ n способами. Правило произведения. Если элемент a из множества можно выбрать m способами, а элемент b из множества способами, то пару (a, b) можно выбрать m
· способами. Сочетания без повторений. элементные подмножества элементного множества называются сочетаниями без повторений. Их число обозначается и может быть вычислено по формуле (m k)!


. Принцип включений и исключений. Пусть имеется множество, элементы которого могут обладать какими-либо из m свойств. Обозначим через число элементов,
обладающих свойствами i
1
, i
2
, …, i
k
. Тогда число элементов,
обладающих хотя бы одним свойством, можно вычислить по формуле (N
1
+ … + N
m
)
− (N
1,2
+ … + N
(m
−1),m
)
+ …

+ (Здесь знаки перед скобками чередуются ив ю скобку входят слагаемые, отвечающие всевозможным наборам из k свойств.
З ада ч и
(). Докажите, что февраля года в кинотеатре
«Мир» на первом сеансе присутствовало хотя бы двое зрителей, имеющих среди остальных зрителей одинаковое число знакомых. (В зале не меньше двух зрителей. На какое количество частей делят пространство плоскости, содержащие грани треугольной пирамиды. На прямой заданы точки A
1
, A
2
, …, A
n
, а на параллельной ей прямой l
2
–– точки B
1
, B
2
, …, B
n
. Найдите число точек пересечения отрезков A
i
B
k
(1
i
n, 1
k
n), если никакие три отрезка не пересекаются водной точке. На окружности даны n точек. Проводятся всевозможные хорды, соединяющие пары точек, причём никакие три хорды не пересекаются водной точке. Найдите число точек пересечения. Группа из 50 девушек состоит из брюнеток и блондинок, причём все девушки или голубоглазые, или кареглазые. Найдите число кареглазых брюнеток, если в группе имеется голубоглазых блондинок, 31 брюнетка и 18 кареглазых девушек. Сколько существует трёхзначных чисел, в записи которых встречается хотя бы одна тройка. Найдите число всех n, 1 n 33 000, которые делятся на 3, 5 или 11.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   19

перейти в каталог файлов
связь с админом