Главная страница

А. Н. Колмогорова полное название Специализированный учебно-научный центр Московского государственного университета имени мв. Ломоносова, предъявляются два основных требования. Во-первых, необходимо владеть знаниями


Скачать 0.98 Mb.
НазваниеА. Н. Колмогорова полное название Специализированный учебно-научный центр Московского государственного университета имени мв. Ломоносова, предъявляются два основных требования. Во-первых, необходимо владеть знаниями
Анкор18×
Дата04.11.2018
Размер0.98 Mb.
Формат файлаpdf
Имя файла18_215_18_Vstupitelnye_zadachi_FMSh_pri_MGU.pdf
оригинальный pdf просмотр
ТипКнига
#48039
страница8 из 19
Каталогid3453405

С этим файлом связано 25 файл(ов). Среди них: Shkolny_etap_5_klass_uslovia.pdf, Построение сечений элементарными средствами Урок№4.ppt.ppt, Prasolov_Zadachi_po_planimetrii.pdf, Vilenkin_N_Ya_i_dr_Fakultativny_kurs_Izbrannye_voprosy_matematik, Kiselev_A_P_Pod_red_Glagoleva_N_A_Geometria.pdf, 9_klass.pdf, Shkolny_etap_4_klass_otvety.pdf, 2_Trigonometria_Falin_G_I.pdf и ещё 15 файл(а).
Показать все связанные файлы
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   19
. (). На дискотеке собрались 10 юношей и 9 девушек.
Сколькими способами они могут составить 5 пар для участия в танце (). Существует ли выпуклый многоугольник, число диагоналей которого враз больше числа его сторон. Разложите число 3125 на 3 целых положительных множителя (некоторые из них могут равняться единице) всеми возможными способами. Способы, получающиеся друг из друга перестановкой сомножителей, считаются одинаковыми. На прямой дано n различных точек. Сколько имеется отрезков с концами в этих точках
Рис. 
.. Шесть прямых на плоскости пересекаются, как показано на рис. . Чему равно число образованных ими треугольников (Внутри такого треугольника могут находиться точки прямых. Каждое ребро треугольной пирамиды разделено натри равные части. Через отмеченные точки проведены плоскости, параллельные граням пирамиды. На какое число частей эти плоскости делят пирамиду. Найдите последнюю цифру суммы всех трёхзначных чисел, десятичная запись которых не содержит цифру 3.
.. Грани куба окрашиваются в два цвета –– чёрный и белый.
Сколько различных раскрасок куба можно получить (Два куба называются одинаково окрашенными, если их можно совместить движениями в пространстве. Сколько существует пятизначных чисел сч тной суммой цифр. Найдите сумму всех трёхзначных чисел, все цифры которых нечётны.
.. На плоскости даны 13 точек, 5 из которых лежат на одной прямой. Никакие три из этих точек (кроме названных пятине лежат на одной прямой. Найдите число треугольников с вершинами в данных точках.
О т в е ты и решения. Пусть в зале было n зрителей, n 2. Условимся не включать в число знакомых зрителя его самого. Тогда возможные варианты числа знакомств каждого зрителя –– от 0 до n
− При этом в зале не могут одновременно находиться человек,
знакомый со всеми остальными, и человек, незнакомый ни с кем. Значит, для этих n зрителей имеется не более n
− различных вариантов числа знакомств. По принципу Дирихле в зале найдётся хотя бы одна пара зрителей с одинаковым числом знакомых. Указание. Рассмотрите вначале три плоскости. Сколько добавится частей пространства при проведении четвёртой плоскости?
Ответ. .
.. Каждой точке пересечения соответствуют 2 пары точек, A
j
), (B
k
, B
l
). Поэтому общее число точек пересечения равно Ответ 1)
2 2
.. Любые две пересекающиеся хорды AB и CD являются диагоналями вписанного четырёхугольника ABCD. Наоборот,
каждая четвёрка точек на окружности определяет выпуклый четырёхугольник, диагонали которого пересекаются. Это устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками пересечения хорд и четвёрками точек на окружности.
Ответ. C
4
n
.. Пусть в группе находится x голубоглазых брюнеток, y кареглазых блондинок и z кареглазых брюнеток. Условия задачи переписываются в виде системы+ y + z = 36,
x
+ z = 31,
y
+ z = Из системы находим, что z
= Ответ.
13.
.. Если в записи числа нет тройки, тона первом месте может стоять любая цифра, кроме 0 и 3, на двух других местах любая цифра, кроме 3. Значит, всего имеется 8
· 9 · 9 чисел,
в записи которых тройки нет.
Ответ. 252.
.. Пусть N
a
–– количество чисел от 1 до 33 000, делящихся на a, N
a,b
–– делящихся на a и b, N
a,b,c
–– делящихся на a, b и c.

Тогда 000 3
= 11 000, N
5
=
33 000 5
= 6600,
N
11
=
33 000 11
= 3000, N
3,5
=
33 000 3
· 5
= 2200,
N
3,11
=
33 000 3
· 11
= 1000, N
5,11
=
33 000 5
· 11
= 600,
N
3,5,11
=
33 000 3
· 5 · 11
= Искомое число N находится по формуле включений и исключений 17 Ответ. 17 000.
.. Указание. Выясните вначале, сколькими способами могут быть выбраны 10 человек, участвующих в танце.
Ответ. 5!
· C
5 10
· C
5 9
.. В выпуклом угольнике каждая пара вершин определяет либо диагональ, либо сторону многоугольника. Значит, всего
n-угольник имеет C
2
n
n =
n
2
− диагоналей. Многоугольник удовлетворяет условию задачи, если 3n
2
= Это равенство выполняется при n
= Ответ. Да. Указание.
3125 = 5 Ответ.
3125
=1·1·3125=1·5·625=1·25·125=5·5·125=
= 5 · 25 · 25.
.. Любая пара точек определяет ровно один отрезок с концами в этих точках.
Ответ. C
2
n
=
n(n
− 1)
2
.. В качестве сторон треугольника могут служить любые три изданных прямых.
Ответ. C
3 6
= 20.

Рис. 
.. Пусть исходная пирамида имеет ребро 1. Несложно найти 14 частей от вершин исходной пирамиды отсекаются 4 подобных ей пирамиды с ребром на рис.  они светло-се- рые), ещё 6 таких же пирамид примыкают кр брам исходной (тёмно-се- рые). Отсекая от пирамиды с ребром уже найденные части, получим октаэдр (белый таких частей 4. Подсчитаем общий объём найденных частей. Отношение объёмов подобных тел равно кубу коэффициента подобия, а значит, объём маленьких пирамид равен, средних ––
8V
27
, где V –– объём исходной пирамиды. Отсюда объём октаэдра равен, а все 14 частей имеют суммарный объём
26V
27
. Недостающий объём –– это пирамида с ребром, вершинами которой являются центроиды граней (точки пересечения граней стремя плоскостями).
Замечание. Если за 1 принять только одно из рёбер исходной пирамиды, то у подобных ей пирамид следует считать,
что
1 и 3
–– это длины параллельных ему рёбер. Тогда при- ведённое рассуждение годится для произвольной треугольной пирамиды.
Ответ. 15.
.. Сумма последних цифр находится по формуле (см. решение задачи .)
8
· 9 · (0 + 1 + … + 9) = 72 · сумма в скобках не содержит 3). Следовательно, последняя цифра равна Ответ.
4.
.. Указание. Удобно по отдельности подсчитать количество возможных раскрасок при условии, что имеется 0, 1, …, 6 чёр- ных граней
Ответ. 10.
.. Указание. При фиксированных первых четырёх цифрах числа чётность суммы цифр определяется чётностью последней цифры.
Ответ. 45
· 10 3
.. Сначала найдём сумму последних цифр (единиц) этих чисел. Если последняя цифра фиксирована, то первые две можно выбрать 5
· 5 = 25 способами. Поэтому сумма единиц равна (1 + 3 + 5 + 7 + 9) = 25 Аналогично суммы десятков и сотен равны (10 + 30 + 50 + 70 + 90) = 25 2
· 10,
25
· (100 + 300 + 500 + 700 + 900) = 25 2
· Поэтому искомая сумма равна 2
· (1 + 10 + 100) = 111 · 25 Ответ. 111
· 25 2
.. Выбрать изданных точек три можно C
3 13
способами.
Выбранные точки не будут вершинами треугольника, только если они лежат на одной прямой у нас таких троек C
3 5
. Стало быть, искомое количество треугольников равно C
3 13
C
3 Ответ. Решите сами. На 99 карточках пишутся числа 1, 2, 3, …, 99. Затем карточки тасуются и раскладываются чистыми сторонами вверх. На чистых сторонах карточек опять пишутся числа 1, 2,
3, …, 99. Для каждой карточки числа, стоящие на ней, складываются и 99 полученных сумм перемножаются. Докажите, что в результате получится чётное число. Сколько разных плоскостей определяются всеми тройками вершин куба. Можно ли квадрат со стороной покрыть тремя квадратами со стороной 1?


(). Каждая грань куба поделена на 4 равных квадрата.
Квадраты окрашены одной из трёх красок каждый так, что соседние квадраты имеют разные цвета. Сколько раз мог быть использован каждый цвет (Соседние квадраты граничат по стороне. Найдите число различных диагоналей в выпуклом
100-угольнике.
(). Найдите число всех четырёхзначных чисел, в записи которых все цифры различны и таких, что абсолютная величина разности между первой и последней их цифрами равна 2.
(). а) Насколько частей могут делить плоскость 4 прямые б) Насколько частей делят пространство 4 плоскости
(никакие две плоскости не параллельны, никакие три не имеют общей прямой и все 4 плоскости не проходят через одну точку. Имеются рычажные весы с двумя чашами и по одной гире в 1 грамм, 3 грамма, 9 граммов, 27 граммов и 81 грамм. Как уравновесить груз в 61 грамм, положенный на чашу весов. Сколькими способами можно поставить на доске 4 × 4 чёр- ного и белого королей так, чтобы они не били друг друга?
Л и тер ату р а поте м е Виленкин Н. Комбинаторика // Квант. . № . С. –– .
[2] Мадер В. Диаграммы Эйлера––Венна // Квант. . № С. –– .
[3] Левин А. Что такое комбинаторика // Квант. . № С. –– ; . № . С. –– .

Тема Числовые оценки
Преобразование выражений
Т е ори я. Формулы сокращённого умножения b
2
= (a b)(a + b),
a
3
± b
3
= (a ± b)(a
2
ab + b
2
),
(a
± b)
2
= a
2
± 2ab + b
2
,
(a
± b)
3
= a
3
± 3a
2
b
+ 3ab
2
± b
3
= a
3
± b
3
± 3ab(a ± b).


. Полезное тождество+ y
3
+ z
3
− 3xyz = (x + y + z)(x
2
+ y
2
+ z
2
xy yz zx).


. Основные тригонометрические тождества+ cos
2
x
= 1, tg x =
sin x
cos x
,
ctg x
=
cos x
sin x
,
tg
2
x
+ 1 =
1
cos
2
x
,
1
+ ctg
2
x
=
1
sin
2
x
,
sin(x
± y) = sin x cos y ± cos x sin y,
cos(x
± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y,
tg(x
± y) =
tg x
± tg y
1
∓ tg x · tg y
,
ctg(x
± y) =
ctg x
· ctg y ∓ 1
ctg x
± ctg В частности 2x
= 2 sin x cos x,
cos 2x
= cos
2
x
− sin
2
x
= 2 cos
2
x
− 1 = 1 − 2 sin
2
x,
tg 2x
=
2 tg x
1
− tg
2
x
,
ctg 2x
=
ctg
2
x
− 1 2 ctg x


. Выражение+ B d иногда представимо в более простом виде a
+ b d. Для этого можно применить метод неопре-

делённых коэффициентов. А именно, возведение равенства

A
+ B d = a + b d в квадрат приводит к системе уравнений относительно неизвестных a и Например, используя этот метод, можно получить равенство+ 2 2 = 1 + Задачи. Докажите, что число 6
+
847 27
+
3 6

847 рационально. Даны три числа a, b, c, для которых a + b + c = 0,
a
2
+ b
2
+ c
2
= 1. Найдите a
4
+ b
4
+ c
4
. (). Преобразуйте выражение+ 2 4 + 2 3 так,
чтобы в результате знак квадратного корня был использован только один раз (дробными степенями не пользоваться. Какое из чисел больше или 1,11111161
?
. (). Найдите номер наибольшего члена в разложении 7
+
6 7
100
. (, ). Сравните числа аи+ б 18
+
18 17 и 17
+
18 18.
. (). Найдите без помощи таблиц и калькулятора с точностью значения выражений:
а)
3 2
− б 2
− 1,04.
. (). Какая из дробей больше+ c
b
+ или 2
a
b
+
c
d
, если
a
b
<
c
d
и 0
< b < d?
. (). Найдите натуральные числа a, b, c, d такие, что+ b + c + d = 30, a
b
c
d, а произведение abcd –– наибольшее из возможных. Найдите наименьшее натуральное n такое, что n − 1 < 0,01.


. (). Вычислите 1
+ x + xy
+
1 1
+ y + yz
+
1 1
+ z + zx
, если. Найдите, если известно, что x
+ y +
+ z = 0.
. (). Числа a, b, c попарно различны и удовлетворяют равенству b +
1
c
= c Найдите a
2
b
2
c
2
. (). Вычислите а) sin
5
x
+ cos
5
x, если sin x
+ cos x =
1 б) tg
3
x
− ctg
3
x, если tg x
− ctg x = 2.
. (). Вычислите:
а) б) cos
π
7
+ cos
3
π
7
+ cos
5
π
7
. (). Найдите отношение (a + 2b c) : (2a + 3c), если
: b : c
= 2 : 3 : 5.
. (). Для чисел a, b и c выполнены равенства a
2
bc
−3
=
= 2 и a
3
b
4
c
= 4. Найдите a
4
b
7
c
5
. (). Пусть α > 1 –– корень уравнения α
3
α − 1 = Вычислите 3
α
2
− 4α +
3 3
α
2
+ 4α + Ответы и решения. Пусть 6
+
847 27
+
3 6

847 27
= x. Возводя это равенство в куб по формуле (a
+ b)
3
= a
3
+ b
3
+ 3ab(a + b), получим уравнение x
3
= 5x + 12. Это уравнение имеет единственный корень x
= 3, поскольку x
3
− 5x − 12 = (x − 3)(x
2
+ 3x + 4).
.. Возведём оба равенства в квадрат
Из первого соотношения найдём ab
+ bc + ca = −
1 2
, что в квадрате дат 4
= (ab + bc + ca)
2
= a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
+ 2abc(a + b + c) =
= a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ Подставив это равенство во второе уравнение системы, получаем, что+ b
4
+ c
4
=
1 Ответ 2
.. Указание.
4 + 2 3 = (1 + Ответ.
1
+ 3.
.. Пусть a = 1,11111146, b = 0,00000015. Требуется сравнить числа b
a
− (и+ (b/3)
a
+ b
. Первое меньше, поскольку b)(a + b) = a
2
b
2
, очевидно, меньше, чем a
2

b
3 Ответ. Второе число больше. Указание. Рассмотрите отношение соседних членов раз- ложения.
Ответ. 86.
.. Указания. а) Сравните квадраты этих чисел.
б) Докажите, что при x
> 1 функция f (x) =
18
x

17
x убы- вает.
Ответ. а+ 7> 3+ 5; б 18
+
18 17
>
17 17
+
18 18.
.. а) Покажем, что 1 <
3 2
− 0,96 < 1,01. Левое неравенство выполнено, так как
1. Докажем правое неравенство. Заметим, что 0,97, так как 1 − 0,06 + 0,0009 = (1 − Поэтому+ 0,01)
3
= 1 + 3 · 10
−2
+ 3 · 10
−4
+ 10
−6
> 1,03 > 2 − что и требовалось
б) 0,99
<
3 2
− 1,04<1. Доказательство аналогично пре- дыдущему.
Ответ. 1.
.. Выполним цепочку эквивалентных преобразований ad < bc ad(b d) > bc(b d) ⇔
⇔ 2abd + 2cbd > abd + cbd + ad
2
+ b
2
c

⇔ 2(a + c)bd > (ad + bc)(b + d) ⇔
a
+ c
b
+ d
>
1 Ответ+ c
b
+ d
>
1 2
a
b
+
c
d
.. Пусть a, b, c, d –– искомая четвёрка чисел. В ней любые два соседних числа отличаются не более чем на 1. Действительно, из неравенства x
> y + 1 следует, что x − 1
y
+ 1, и значит, пару чисел (x, y) можно заменить парой (x
− 1, y + стой же суммой. При этом произведение чисел увеличится 1)(y + 1) = xy + x y − 1 > Из приведённого рассуждения вытекает также, что в соотношениях как минимум два неравенства обращаются в равенство. Действительно, если бык примеру,
выполнялись неравенства a
> b
c
> d, тоновая четвёрка
a
− 1
b
c
d
+ 1 имела бы большее произведение при прежней сумме, что противоречит выбору чисел a, b, c, Итак, для четвёрки чисел a, b, c, d имеем следующие варианты. Это невозможно, так как числа целые, а их сумма равна 30.
) a
= b + 1 > b = c = d. В этом случае сумма чисел 4b + не может быть равна 30.
) a
= b = c + 1 > c = d. Сумма чисел 4c + 2; она равна при c
= 7.
) a
= b = c = d + 1 > d. Сумма 4d + 3 неравна Искомая четвёрка чисел a
= 8, b = 8, c = 7, d = Ответ. a

= b = 8, c = d = 7.
.. Умножив обе части неравенства на n + n − 1, получим. Отсюда n > 50, те Значение n
= 2501 удовлетворяет условию задачи
Ответ. 2501.
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   19

перейти в каталог файлов
связь с админом