Главная страница

А. Н. Колмогорова полное название Специализированный учебно-научный центр Московского государственного университета имени мв. Ломоносова, предъявляются два основных требования. Во-первых, необходимо владеть знаниями


Скачать 0.98 Mb.
НазваниеА. Н. Колмогорова полное название Специализированный учебно-научный центр Московского государственного университета имени мв. Ломоносова, предъявляются два основных требования. Во-первых, необходимо владеть знаниями
Анкор18×
Дата04.11.2018
Размер0.98 Mb.
Формат файлаpdf
Имя файла18_215_18_Vstupitelnye_zadachi_FMSh_pri_MGU.pdf
оригинальный pdf просмотр
ТипКнига
#48039
страница9 из 19
Каталогid3453405

С этим файлом связано 25 файл(ов). Среди них: Shkolny_etap_5_klass_uslovia.pdf, Построение сечений элементарными средствами Урок№4.ppt.ppt, Prasolov_Zadachi_po_planimetrii.pdf, Vilenkin_N_Ya_i_dr_Fakultativny_kurs_Izbrannye_voprosy_matematik, Kiselev_A_P_Pod_red_Glagoleva_N_A_Geometria.pdf, 9_klass.pdf, Shkolny_etap_4_klass_otvety.pdf, 2_Trigonometria_Falin_G_I.pdf и ещё 15 файл(а).
Показать все связанные файлы
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   19
.. Указание. Домножьте числитель и знаменатель второй дробина, а третьей –– на Ответ. 1.
.. Указание. Приведите к общему знаменателю и воспользуйтесь тождеством Ответ. 0.
.. По условию a b = 0. Поэтому b +
1
c
a b =
b
c
bc
bc =
b
c
a
− Аналогично получаем два других равенства ca
=
c
a
b
− и ab
=
=
a
b
c
a
. Перемножив их, получим, что a
2
b
2
c
2
= Ответа) Из тождеств x
+cos x)
2
=1+2 sin x ·cos x,
(sin x
+cos x)
3
=sin
3
x
+cos
3
x
+3 sin x ·cos x ·(sin x +cos x),
(sin x
+cos x)
5
=sin
5
x
+cos
5
x
+
+5 sin x ·cos x ·(sin
3
x
+cos
3
x)
+10 sin
2
x
·cos
2
x
·(sin x +cos последовательно находим sin x
· cos x = −
3 8
, sin
3
x
+ cos
3
x
=
=
11 16
, sin
5
x
+ cos
5
x
=
79 б) Указание. Используйте формулу разности кубов и соотношение Ответа б) 14.
.. а) Преобразуем данное выражение − cos
π
9
cos
4
π
9
cos
2
π
9
=
= −
sin
π
9
cos
π
9
cos
2
π
9
cos
4
π
9
sin
π
9
= −
sin
2
π
9
cos
2
π
9
cos
4
π
9 2 sin
π
9
=
= −
sin
4
π
9
cos
4
π
9 4 sin
π
9
= −
sin
8
π
9 8 sin
π
9
= −
1 8

б) Рассмотрим правильный семиугольник, вписанный в единичную окружность, одна из вершин которого совпадает сточкой. Сумма векторов, идущих изначала координат в вершины семиугольника, равна нулю. (Семиугольник переходит в себя при повороте на угол, значит, тем же свойством обладает и сумма векторов. Но при таком повороте в себя может переходить только нулевой вектор) Следовательно, равна нулю и сумма абсцисс этих векторов, то есть cos
π
7
+ 2 cos
3
π
7
+ 2 cos
5
π
7
− 1 = Отсюда cos
π
7
+ cos
3
π
7
+ cos
5
π
7
=
1 Ответа б 2
.. Из условия следует, что a = 2x, b = 3x, c = 5x для некоторого. Поэтому+ 2b c) : (2a + 3c) = (2x + 6x − 5x) : (4x + 15x) = 3 : Ответ. 3 : 19.
.. a
4
b
7
c
5
= (a
3
b
4
c)
2
: (a
2
bc
−3
)
= Ответ. 8.
.. Пользуясь тем, что α
3
α − 1 = 0, дополним подкоренные выражения до полных кубов 3
α
2
− 4α=
3 3
α
2
− 4α − (α
3
α − 1)=
3 1
− 3α + 3α
2
α
3
=
=
3
(1
α)
3
= 1 − α,
3 3
α
2
+ 4α + 2=
3 3
α
2
+ 4α + 2 + (α
3
α − 1)=
=
3 1
+ 3α + 3α
2
+ α
3
=
3
(1
+ α)
3
= 1 + Значит, искомая сумма равна Ответ. 2.

Решите сами. Сравните числа аи+ д и б 2 и е) 2 ив и 202 жиги. Какая из дробей больше+ a
2
+ a
3
b
1
+ b
2
+ или 3
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
a
3
b
3
,
если
a
1
b
1
<
a
2
b
2
<
a
3
b
3
и 0
< b
1
< b
2
< b
3
?
(). Напишите число 41− 720, использовав знак квадратного корня лишь один раз (считается, что возведение в степень равносильно использованию знака корня. Упростите выражение+ 3t + 2
+
2t
t
2
+ 4t + 3
+
1
t
2
+ 5t + 6
(t
− 3)
2
+ Литература поте м е Кушнир И. Простой приём в непростых задачах // Квант. № . С. ––.
[2] Власов А. Задачи на сравнение чисел // Квант. . № С. –– .
[3] Затакавай В. Теорема Птолемея и некоторые тригонометрические соотношения // Квант. . № . С. –– .

Тема 
Неравенства
Максимум и минимум
Т е ори я. Неравенство Бернулли. Пусть x −1, n –– натуральное число. Тогда+ x)
n
1
+ Доказательство может быть получено индукцией по параметру. Неравенства между средними. В случае двух переменных легко проверить неравенства+ b
ab
a
+ b
2
a
2
+ b
2 Эти неравенства обращаются в равенства в томи только том случае, когда a
= b. Четыре выписанных величины называются соответственно средним гармоническим, средним геометрическим, средним арифметическими средним квадратиче- ским чисел a и b.


. Аналогичные неравенства справедливы для любого числа переменных если a
1
, …, a
n
> 0, то+ … +
1
a
n
n
a
1
· … · a
n
a
1
+ … + a
n
n
a
2 1
+ a
2 2
+ … + Равенства достигаются в томи только том случае, когда a
1
=
= a
2
= … = Задачи. Что больше 1978 + 1980 или 2 1979?
. (). Докажите, что 3 < π < 4.


. (). Найдите наименьшее значение функций:
а) tg
2
x
+ ctg
2
x; б) a sin x
+ b cos x.
. (). Найдите первые n значащих цифр числа между единицами стоит n нулей. Найдите наибольшее значение выражения x + если 2xy + 2y
2
= 4
(x, y –– действительные числа. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения числа x, y, z могут принимать только значения 1, 2, 3, и 5, причём x
= z, y = x, y = z.
. (). Найдите наименьшее значение выражения
+ y| + (x + 1)
2
+ (y − 3)
2
. (). Функция f (x) задана при всех вещественных и при всех вещественных x удовлетворяет неравенству f (x)
− 2 f (x) − f (2 + x) Докажите, что для каждого вещественного числа x выполняется неравенство f (x)
4.
. (). Докажите, что для любых α, β и γ справедливо неравенство sin
α · sin β · sin γ + cos α · cos β · cos γ 1.
. (). Пусть p –– рациональное число, 0 < p < 1. Расположите в порядке возрастания числа p, q
= p
p
, r
= p
q
. (). Что больше 1

1 2
+
1 3

1 4
+ … +
1 1999

1 или 1001
+
1 1002
+ … +
1 1999
+
1 2000
?


. (). Найдите наименьшее значение выражения 1
+ (1 − x
2
)
2
+ … + x
2
n
+ (1 − x
1
)
2
.. При каких значениях x функция f (x) принимает наименьшее значение, если а) f (x)
= (x x
1
)
2
+ … + (x − б) f (x)
= |x x
1
| + … + |x x
n
|?
.. При каком x дробь+ принимает наименьшее значение. Найдите наименьшее натуральное число n, для которого при всех действительных положительных x и y выполняется данное неравенство.
а) (x
+ y)
2
n(x
2
+ б) (x
2
+ y
2
)
2
n(x
4
+ Докажите неравенства .–– . (все переменные положительны+ Ответы и решения. Указание. Воспользуйтесь неравенством между средним арифметическими средним квадратическим.
Ответ. Второе число больше. Указание. Для окружности радиуса 1 рассмотрите описанный квадрат и вписанный шестиугольник.
Указания.
а)
tg
2
x
+ ctg
2
x
2
tg
2
x
· ctg
2
x
= б) a sin x
+ b cos x =
= a
2
+ b
2
·
a
a
2
+ b
2
· sin x +
b
a
2
+ b
2
· cos x =
= a
2
+ b
2
· sin(x + ϕ),

где –– такой угол, что cos ϕ =
a
a
2
+ b
2
, sin
ϕ =
b
a
2
+ Ответа б a
2
+ b
2
.. Указание. Примените неравенство 1 + a < 1 + a (a > Ответ. 1, 00…0
n

.. Решение . Введя обозначение t = x + y, перепишем данное условие в виде x
2
− 2x(t x) + 2(t x)
2
= 4 или, после раскрытия скобок 6tx + (2t
2
− 4) = Это квадратное (относительно переменной x) уравнение имеет решение, если D
= (−6t)
2
− 4 · 5 · (2t
2
− 4) 0, то есть при. А тогда найдётся и пара (x; y)
= (x; t x), удовлетворяющая исходному уравнению. Значит, все значения от 20 до 20 принимаются суммой x + y.
z
y
2
A
B(0; Рис. Решение .
Перейдём от переменных и y к переменными. Наша задача –– найти минимум суммы 2 y
+ z при условии, что y
2
+ z
2
= 4. Последнее равенство задаёт на плоскости Oyz окружность радиуса 2 с центром вначале координат
(см. рис. ). Пусть A –– точка этой окружности. Величина 2 y
+ z одинакова для точки и для любой другой точки B, лежащей сна одной прямой вида 2 y
+ z = const. Это прямая, параллельная прямой z
= −2y и проходящая через A. В качестве точки B удобно выбрать точку пересечения прямой с осью Oz, тогда её ордината и есть значение 2 y
+ z на этой прямой. Минимальное и максимальное значения достигаются для касательных к окружности,
параллельных прямой z
= −2y. Из прямоугольного треугольника, в котором OA
= 2 и tg ∠ABO =
1 2
, находим, что Ответ.
2 5.


.. Найдём наибольшее значение дроби. Нужно, чтобы знаменатель был минимален. Коль скоро нужно взять x
= 1 и подобрать y итак, чтобы выражение
y
+
1
z
было максимальным. Рассуждая аналогично, найдём,
что y
= 5 и z = 2. Итак, наибольшее значение исходного выражения равно 1
+
1 5
+
1 2
=
1 1
+
2 11
=
11 Аналогично находится наименьшее значение, которое равно 5
+
1 1
+
1 4
=
1 5
+
4 5
=
5 Ответ. Наибольшее и наименьшее значения равны и соответственно. Способ . Указание. Воспользуйтесь тем, что+ 1)
2
+ (y − 3)
2
–– расстояние от точки (x; y) до точки (
−1; 3), а |x + y| расстояние от точки (x; y) до прямой x
+ y = 0, умноженное на
2.
Способ . Первое слагаемое минимально, когда x
= второе в силу неравенства между средним квадратическим и средним арифметическим минимально при
+ 1| = |y − Эти равенства выполняются одновременно при x
= −2, y = Ответ. Возводя неравенство f (x)
2
+
2 f (x)
f (2 + в квадрат, приходим к неравенству
(2
+ x) 4 + 4 2 f (x) − f (2 + откуда f (2
+ x) 4. Коль скоро x –– произвольное число, неравенство будет справедливо для каждого x.
.. Заметим, что sin
α sin β sin γ + cos α cos β cos γ |sin α sin β| + |cos α cos β|.

Выражение в правой части равно одному из четырёх чисел cos(α ± β) и поэтому не превосходит 1.
.. Указание. Воспользуйтесь тем, что функция монотонно убывающая.
Ответ. p, r, q.
.. Одно из выражений можно преобразовать в другое 1

1 2
+
1 3

1 4
+ … +
1 1999

1 2000
=
=
1 1
+
1 2
+ … +
1 1999
+
1 2000
− 2 1
2
+
1 4
+ … +
1 2000
=
=
1 1
+
1 2
+ … +
1 1999
+
1 2000
− 1 +
1 2
+ … +
1 1000
=
=
1 1001
+
1 1002
+ … +
1 1999
+
1 Ответ. Выражения равны. Указание. Примените неравенство между средним арифметическими средним квадратическим.
Ответ.
n
2
.. Указания.
а) Задача сводится к нахождению минимума функции вида+ б) Воспользуйтесь тем, что − x
i
| –– это расстояние между точками x и на координатной прямой.
Ответ. а+ x
2
+ … + x
n
n
; б) пусть x
1
x
2

x
n
; тогда x
n
+1 2
, если n нечётно, и x
∈ [x
n
2
; x
n
2
+1
], если n чётно.
.. Согласно неравенству между средним арифметическими средним геометрическим+ 2x
4 2
1
· 2x
4
= Поэтому+ 2x
4
x
2 2 2. Равенство достигается прите. когда x
= Ответ.
2
−1/4
.. При n = 1 эти неравенства не выполняются (например,
для x
= y = 1). При n = 2 первое неравенство приводится к виду, а второе следует из первого, если положить a, y
2
= Ответа б) n = 2.
.. Указание. Возведите неравенство в квадрат и воспользуйтесь неравенством из задачи ..
.. Указание. Примените неравенство между средним арифметическими средним геометрическим. Указание. Воспользуйтесь неравенством y)
2
+ (x z)
2
+ (y z)
2 Решите сами. Найдите наименьшее значение функции
sin
2
x
+ b sin x cos x + c cos
2
x.
(). Для любых положительных чисел a, b и c докажите неравенство+ b)(b + c)(a + c) 8abc.
. Докажите, что произведение цифр натурального числа n
10 меньше самого числа Литература поте м е Гутенмахер В. Неравенства с фиксированной суммой Квант. . № . С. –– .
[2] Пинтер Л, Хегедыш Й. Упорядоченные наборы чисел и неравенства Квант. . № . С. –– .
[3] Гольдман А, Звавич Л. Числовые средние и геометрия Квант. . № . С. –– .
[4] Балк М, Мазалов М. Как же доказать это неравенство Квант. . № . С. .
[5] Ярский А. Как доказать неравенство // Квант. . № С. –– .
[6] Седракян НО применении одного неравенства // Квант. № . С. –– .

Тема 
Площадь
Т е ори я
Через будем обозначать площадь фигуры F.


. Аддитивность площади. Площадь фигуры есть сумма площадей её частей если фигура F является объединением нескольких фигур F
1
, F
2
, …, F
n
, причём никакие две из них не перекрываются (не имеют общих внутренних точек, то S
F
1
+ S
F
2
+ … + S
F
n


. Формулы для вычисления площади:
а) треугольника 2
ab sin
γ =
1 2
ah
a
= pr =
abc
4R
= p(p a)(p b)(p − последняя формула для площади носит название формулы Ге-

рона);
б) параллелограмма AD · h = AB · AD · sin ∠(AB, AD)
(h –– высота параллелограмма, опущенная на сторону в) трапеции+ BC
2
· h
(AD BC, h –– высота трапеции);
г) произвольного (в том числе невыпуклого) четырёхуголь- ника:
S
ABCD
=
1 2
AC
· BD · ∠ sin(AC, BD).


. Лемма о площадях треугольников с общим основанием. Пусть AB –– общее основание треугольников ABC и, M –– точка пересечения прямых AB и см. рис. Тогда
Рис. Рис. 


. Лемма о площадях треугольников с общим углом
(или смежными углами. Пусть прямые и пересекаются в точке C см. рис. ). Тогда. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.
З ада ч и
(). Прямая, параллельная основанию AB треугольника, площадь которого равна S, отсекает от него треугольник площади S
1
. Точка P лежит на основании AB. Найдите площадь четырёхугольника CMPN.
. (). На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC взяты точки K, L итак, что AK
=
1 3
AB, BL
=
1 3
BC, CM
=
1 3
CA. Отрезки и AL пересекаются в точке P, BM ив точке Q,
CK ив точке R. Найдите площадь треугольника если S
ABC
= 1.
. (). Дан треугольник ABC, площадь которого равна На медианах AK, BL и CN берутся точки P, Q и R соответственно так, что 1,
BQ
QL
=
1 2
,
CR
RN
=
5 Найдите площадь треугольника PQR.
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   19

перейти в каталог файлов
связь с админом