Главная страница
qrcode

ЛАБ.Р.Дискр.СВ. Дискретные случайные величины


НазваниеДискретные случайные величины
Дата26.04.2019
Размер82.2 Kb.
Формат файлаdocx
Имя файлаЛАБ.Р.Дискр.СВ.docx
ТипЗакон
#62644
Каталог


ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА по ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Моделирование закона распределения, математического ожидания и дисперсии
Случайной называют величину, которая в результате испытания примет случайно одно и только одно значение из множества возможных значений.

Дискретной
(прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные возможные значения с определенными вероятностями.

Пример 1
M
={1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Закон распределения

Законом распределения случайной величины называется соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями (его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая - их вероятности:
Х
хх...
хnP
pp...
pn
Сумма вероятностей второй строки таблицы равна единице:

p + p + ...+ pn
Основные числовые характеристики дискретной случайной величины

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Пусть дискретная случайная величина принимает только значения

xxxnpppn
M (X) = xpxpxn pn(1)

Пример 1. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины, зная закон ее распределения:
X
5
4
3
P
0,2
0,5
0,3

Решение. По формуле (1) находим математическое ожидание:

M (X) = 5*0,2 + 4*0,5 + 3*0,3 = 3,3.

Если дискретная случайная величина принимает счетное множество возможных значений, то

M (X) =
На практике часто приходится оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
D (X) = M [X - M (X)]2.
(3)

Пример 2. Найти дисперсию случайной величины X, которая задана следующим законом распределения:
X
1
2
5
P
0,3
0,5
0,2

Решение. По формуле (1) находим математическое ожидание:

M (X) = 1*0,3 + 2*0,5 + 5*0,2 = 2,3.

Используя формулу (3) записываем все возможные значения квадрата отклонения:

[XM (X)]2 = (1 - 2,3)2 = 1,69;

[XM (X)]2 = (2 - 2,3)2 = 0,09;

[XM (X)]2 = (5 - 2,3)2 = 7,29.

Тогда закон распределения квадрата отклонения имеет следующий вид:
[X - M (X)]2
1,69
0,09
7,29
P
0,3
0,5
0,2

По формуле (3) находим дисперсию:

D (X) = 1,69*0,3 + 0,09*0,5 + 7,29*0,2 = 2,01.

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей формулой.
D (X) = M (X 2) - [M (X)]2
(4)

Пример 3. Найти дисперсию случайной величины X, которая задана следующим законом распределения:
X
2
3
5
P
0,3
0,5
0,2

Решение. По формуле (1) находим математическое ожидание:

M (X) = 2*0,1 + 3*0,6 + 5*0,3 = 3,5.

Закон распределения случайной величины X 2:
X 2
4
9
25
P
0,1
0,6
0,3

Математическое ожидание М (Х 2):

M (Х 2) = 4*0,1 + 9*0,6 + 25*0,3 = 13,3.

По формуле (4) находим дисперсию:

D (X) = 13,3 - (3,5)2 = 1,05.

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется корень квадратный из ее дисперсии:

σ (X) =
    Аналитическое и непосредственное (на основе метода Монте-Карло) нахождение характеристик дискретной случайной величины рассмотрим на двух примерах.

    Пример 4. На связке 5 ключей. при отмыкании замка последовательно один за другим испытываются ключи. Написать закон распределения числа испытанных ключей. Подсчитать математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

    Решение. Перенумеруем ключи. События Aii –й ключ»

    (i = 1, 2, 3, 4, 5) независимы. Случайная величина X может принимать значения xxxxx
    Вероятность того, что замок откроется с 1-й попытки: pp(A
    Событие, состоящее в том, что замок откроется со 2-й попытки, состоит из двух событий: 1-й ключ не открывает замок, 2-й открывает. Вероятность этого события:

    pp(Ap(p(A
    Событие, состоящее в том, что замок откроется с 3-й попытки, состоит из трех событий: 1-й ключ не открывает замок, 2-й – не открывает, 3-й открывает. Вероятность этого события:

    рp(Ap(p(p(A
    Событие, состоящее в том, что замок откроется с 4-й попытки, состоит из четырех событий: 1-й ключ не открывает замок, 2-й – не открывает, 3-й – не открывает, 4-й открывает. Вероятность этого события:

    р= p(Ap(p(p(p(A
    =
    Событие, состоящее в том, что замок откроется с 5-й попытки, состоит из пяти событий: 1-й ключ не открывает замок, 2-й – не открывает, 3-й – не открывает, 4-й – не открывает, 5-й – открывает. Вероятность этого события:

    рp(Ap(p(p(p(p(A
    =
    Таким образом, закон распределения числа испытанных ключей имеет вид:
X
1
2
3
4
5
P
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2

Математическое ожидание:

M (X) = 1*0,2 + 2*0,2 + 3*0,2 + 4*0,2 + 5*0,2 = 3.

Закон распределения случайной величины X 2:
X 2
1
4
9
16
25
P
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2

Математическое ожидание М (Х 2):

M (Х2) = 1*0,2 + 4*0,2 + 9*0,2 + 16*0,2 + 25*0,2 = 11.

Дисперсия:

D (X) = 11 – 32 = 2.

Пример 5. Монета подбрасывается 5 раз. Случайная величина Х - число выпавших гербов минус число выпавших цифр. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины

Решение. Полную группу событий представляют собой следующие исходы опыта:

5 цифр, 0 гербов – x
4 цифры, 1 герб – x
3 цифры, 2 герба – x
2 цифры, 3 герба – x
1 цифра, 4 герба – x
0 цифр, 5 гербов – x
Пусть вероятность выпадения цифры р =q =k цифр (5 – k гербов) в 5 подбрасываниях Pkpkq5–k .

Таким образом, имеем:

P (X = –5) = PP (X = –3) = P
P (X = –1) = PP (X =1) = P
P (X = 3) = PP (X = 5) = P
Закон распределения числа выпавших гербов минус число выпавших цифр:
X
-5
-3
-1
1
3
5
P

Математическое ожидание:

M (X) = (-5)*
Закон распределения случайной величины X 2:
X 2
25
9
1
1
9
25
P

Математическое ожидание М (Х 2):

M (Х2) = 25*
Дисперсия:

D (X) = 5 – 02 = 5.

Непосредственный подсчет характеристик дискретной случайной величины основан на методе Монте-Карло. С помощью датчика случайных чисел «разыгрывается» опыт, описанный в задаче. Исход опыта фиксируется. В результате многократного (n раз) повторения опыта получается частота ninnnmn, где m – число исходов. Разделив nin, i = 1, 2, … , m, получаем относительные частоты pi
Сведя полученные результаты в таблицу
Х
аа...
amP ⃰
pp
pm

где аii = 1, 2, … , m, – числовые значения исходов, получим приближенный закон распределения искомой случайной величины. В статистике эту таблицу называют распределением относительных частот.

Приближенным значением математического ожидания, или, как говорят в статистике, его оценкой, служит следующая величина

M ⃰ (X) = аpаpаm pm аnаnаm nm
Оценка (смещенная) дисперсии вычисляется по формуле

D ⃰ (X) = (аM ⃰ (X))*(аM ⃰ (X))*pаmM ⃰ (X))*(аmM ⃰ (X))*pm
Программы (Pascal)

program kluchi;{На связке 5 ключей. при отмыкании замка последовательно один за другим испытываются ключи. Написать закон распределения числа испытанных ключей. Подсчитать математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины}

const m=5;

var

g,d:real;

i,n,u:integer;

ch: array[1..m] of integer;

ver: array[1..m] of real;

begin

randomize;

writeln('vvedite n - chislo opytov');

read(n);

for i:=1 to n do {подсчет частоты}

begin

u:=random(5);

ch[u+1]:=ch[u+1]+1;

end;

for i:=1 to m do {подсчет частоты}

ver[i]:=ch[i]/n;

writeln(' З А К О Н Р А С П Р Е Д Е Л Е Н И Я');

writeln;

writeln(' X ',' 1 2 3 4 5');

writeln(' P ',ver[1]:6:3,ver[2]:6:3,ver[3]:6:3,ver[4]:7:3,ver[5]:6:3);

g:=0;

for i:=1 to m do {подсчет мат. ожидания}

g:=g+i*ver[i];

d:=0;

for i:=1 to m do {подсчет дисперсии}

d:=d+((i-g)*(i-g))*ver[i];

writeln;

writeln(' n =',n:6,' mozh = ',g:4:3,' disp = ',d:4:3);

end.
Результаты
vvedite n - chislo opytov

10000

З А К О Н Р А С П Р Е Д Е Л Е Н И Я
X 1 2 3 4 5

P 0.194 0.205 0.206 0.200 0.196
n = 10000 mozh = 3.000 disp = 1.963
program moneta;{монета подбрасывается 5 раз. Случайная величина Х - число выпавших гербов минус число выпавших цифр. Найти математическое

ожидание и дисперсию этой случайной величины}

const m=5;

var

p,g,d:real;

s,i,j,k,n,u:integer;

ch: array[0..m] of integer;

ver: array[0..m] of real;

begin

randomize;

p:=0.5;

writeln('vvedite n - chislo opytov');

read(n);

for i:=1 to n do

begin

s:=0;{счетчик гербов}

for j:=1 to m do

if random <= p then s:=s+1;

for k:=0 to m do

if s=k then ch[k]:=ch[k]+1;

end;

for k:=0 to m do

ver[k]:=ch[k]/n;

writeln(' З А К О Н Р А С П Р Е Д Е Л Е Н И Я');

writeln;

writeln(' X ',' -5 -3 -1 1 3 5');

writeln(' P ',ver[0]:6:3,ver[1]:6:3,ver[2]:6:3,ver[3]:6:3,ver[4]:6:3,ver[5]:7:3);

g:=0;

for i:=0 to m do {подсчет мат.ож.}

g:=g+(2*i-5)*ver[i];

d:=0;

for i:=0 to m do {подсчет дисперсии}

d:=d+(2*i-5-g)*(2*i-5-g)*ver[i];

writeln;

writeln(' n =',n:6,' mozh = ',g:4:3,' disp = ',d:4:3);

end.
Результаты
vvedite n - chislo opytov

1000000

З А К О Н Р А С П Р Е Д Е Л Е Н И Я
X -5 -3 -1 1 3 5

P 0.031 0.157 0.313 0.312 0.156 0.032
n =1000000 mozh = 0.000 disp = 5.007
ЗАДАНИЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ 2 ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Х построить закон распределения, найти М(Х) и D(X) (аналитически и с помощью программы):














































перейти в каталог файлов


связь с админом