Главная страница
qrcode

Хмельник С. И. Математическая модель вихря Тейлора Аннотация Рассматривается теоретическое обоснование вихря Тейлора. Предлагаемая математическая модель позволяет построить структуру течения между цилиндрами,


Скачать 367.56 Kb.
НазваниеХмельник С. И. Математическая модель вихря Тейлора Аннотация Рассматривается теоретическое обоснование вихря Тейлора. Предлагаемая математическая модель позволяет построить структуру течения между цилиндрами,
Дата18.10.2019
Размер367.56 Kb.
Формат файлаpdf
Имя файла1511.0248v2.pdf
оригинальный pdf просмотр
ТипЛитература
#65894
Каталог

1
Хмельник С. И.
Математическая модель вихря Тейлора
Аннотация
Рассматривается теоретическое обоснование вихря
Тейлора. Предлагаемая математическая модель позволяет построить структуру течения между цилиндрами, где возникают правильно чередующиеся вихри с правым и левым вращением и с осями, параллельными направлению окружной скорости вращающегося цилиндра
Оглавление
1. Введение
2. Гравитомагнетизм
3. Математическая модель
Приложение 1.
Литература
Введение
В [1] описывается классический эксперимент Тейлора – см. рис.
1, где показаны два цилиндры и вязкая жидкость в зазоре между ними.
Внешний цилиндр с радиусом
d
R
R
i


2
неподвижен, а внутренний цилиндр с радиусом
i
R
R

1
вращается и тем самым создает основное течение
i
U
При некоторой скорости вращения в зазоре "между цилиндрами возникают правильно чередующиеся вихри с правым и левым вращением и с осями, параллельными направлению окружной скорости вращающегося цилиндра". Эти вихри катятся по окружности и не переходят с одной окружности на другую. В
[1] описываются различные экспериментальные исследования такого течения, но его математическая модель отсутствует. Видимо, ее невозможно построить на основе известных уравнений гидродинамики. Ниже предлагается математическая модель такого течения, построенная в предположении, что, кроме известных массовых сил, в текущей жидкости возникают гравитомагнитные силы, существенно зависящие от скорости движения.

2 z
r

R
1
R
2
Рис. 1.
2. Гравитомагнетизм
В [2] анализируются некоторые масштабные природные явления и неожиданные эксперименты. Доказывается, что они могут быть объяснены существованием гравитомагнетизма и значительных по величине сил гравитомагнитного взаимодействия - гравитомагнитных сил. Эти силы имеют значительную величину в вакууме.
В слабом гравитационном поле Земли можно пользоваться максвеллоподобными уравнениями для описания гравитомагнитных взаимодействий
– максвеллоподобными уравнениями гравитомагнетизма (МПГ-уравнения). Взаимодействие между движущимися массами описывается гравитомагнитными силами
Лоренца (далее ГЛ-силы), аналогичными силам Лоренца в электродинамике. Из аналогии между уравнениями Максвелла для электродинамики и МПГ следует, что существует также поток S гравитационной энергии.
Как уже отмечено, ГЛ-силы имеют значительную величину в вакууме. В потоке жидкости движущиеся молекулы разъединены

3 вакуумом. Поэтому силы их гравитомагнитного взаимодействия могут быть значительными и влиять на характер течения.
Известно, что при увеличении скорости ламинарного течения жидкости или газа самопроизвольно (без наличия внешних сил) возникает турбуле́нтное тече́ние [3]. Механизм самопроизвольного перехода от ламинарного течения к турбулентному течению не найден. На основе этого в [4] обосновывается утверждение о первичности турбулентного движения.
На основе вышесказанного в [5] было предложено объяснение механизма возникновения турбулентных течений. Было показано, что движущиеся молекулы текущей жидкости взаимодействуют между собой аналогично движущимся электрическим зарядам. Силы такого взаимодействия могут быть рассчитаны и включены в уравнения Навье-Стокса как массовые силы. Уравнения НавьеСтокса, дополненные такими силами, становятся уравнениями гидродинамики для турбулентного течения. При этом для расчета турбулентных течений можно использовать известные методы решения уравнений Навье-Стокса.
Далее МПГ-уравнения используются для построения математической модели вихря Тейлора (аналогично тому, как они были использованы для построения математической модели трубку
Ранка [6]).
3. Математическая модель
В конструкции Тейлора существуют массовые токи.
Обозначим их плотности как
z
r
J
J
J
,
,

. Эти массовые токи создают гравитомагнитные напряженности
z
r
H
H
H
,
,

Плотности массовых токов и напряженности должны удовлетворять
МПГ-уравнениям. Для стационарного случая, который имеет место в нашей задаче, эти уравнения (также, как и уравнения Максвелла для электродинамики) имеют вид
0
div(H)

,
(1)
J

rot(H)
,
(2)
Кроме того, массовые токи должны удовлетворять условию непрерывности
0
)
(
div

J
(3)
При моделировании будем использовать цилиндрические координаты
z
r
,
,

- см. рис. 1. Тогда уравнения (1-3) примут вид:

4 0
1











z
H
H
r
r
H
r
H
z
r
r


,
(4)
,
1
r
z
J
z
H
H
r









(5)
,

J
r
H
z
H
z
r






(6)
,
1
o
z
r
J
J
H
r
r
H
r
H












(7)
0 1











z
J
J
r
r
J
r
J
z
r
r


(8)
Для сокращения записи в дальнейшем будем применять следующие обозначения:
)
cos(
z
co




,
(9)
)
sin(
z
si




,
(10) где


,
– некоторые константы. В приложении 1 показано, что существует решение, имеющее следующий вид:
 
co
r
j
J
r
r

,
(11)
si
r
j
J
)
(



,
(12)
si
r
j
J
z
z
)
(

,
(13)
 
co
r
h
H
r
r

,
(14)
si
r
h
H
)
(



,
(15)
si
r
h
H
z
z
)
(

,
(16) где
)
(
),
(
r
h
r
j
- некоторые функции координаты
r
. В приложении 1 показано, что указанное решение 5-ти уравнений (4-8) с 6-ю неизвестными функциями
)
(
),
(
r
h
r
j
может быть найдено при данной функции
)
(r
j

Функции
)
(r
j

описывает массовые токи. В рассматриваемой конструкции эти токи возникают под действием из-за сил вязкости.
Эти силы распределены по радиусу и это распределение зависит от того, какой из цилиндров вращается, увлекая вязким трением близлежащие слои воды. Очевидно, скорость вращения будет уменьшаться в сторону неподвижного цилиндра.
Мы не будем анализировать эти связи, а предположим, что в общем случае функция
)
(r
j

имеет следующий вид:

5
br
a
r
j


)
(

,
(17) где
b
a,
– известные коэффициенты.
Пример 1.
На рис. 2 (mode=4) показаны графики функций
)
(
),
(
),
(
),
(
),
(
),
(
r
h
r
h
r
h
r
j
r
j
r
j
z
r
z
r


в зазоре конструкции. Эти функции вычисляются итеративно при данных
63
,
4




, радиусе провода
1
,
9 0
2 1


R
R
и функции
r
r
j



3 0
)
(

. В первой колонке показаны функции
)
(
),
(
),
(
r
h
r
h
r
h
z
r

, а во второй колонке показаны функции
)
(
),
(
),
(
r
j
r
j
r
j
z
r

. Вместе с функцией
)
(r
j
z
пунктиром показана функция
)
sin(
2
r
j
zt


,
(18) а вместе с
)
(r
j
r
функцией пунктиром показана функция


)
9 0
(
25
))
cos(
1
(
2







r
r
j
rt

(19)
Видно, что
)
(
)
(
r
j
r
j
rt
r

,
)
(
)
(
r
j
r
j
zt
z

Следовательно, существует такое решение уравнений (4-8), при котором


z
r
j
z
J
rt
r




cos
)
(
)
(
,
(20)


z
r
j
r
J
zt
z




sin
)
(
)
(
(21)
- см. также (9-12).
0.9 0.95 1
-6
-4
-2 0
jr
0.9 0.95 1
0.62 0.64 0.66 0.68 0.7
jf
0.9 0.95 1
-2 0
2 4
jz
Fig=2 (TokPotok14a.m)
0.9 0.95 1
-0.04
-0.02 0
0.02
hr
0.9 0.95 1
0 0.05 0.1
hf
0.9 0.95 1
-0.02
-0.01 0
0.01
hz r

6
Пример 2.
На рис. 3 при условиях примера 1 показано поле токов


)
(
)
(
r
J
r
J
z
r

в вертикальном сечении зазора конструкции.
Видны правильно чередующиеся вихри с правым и левым вращением.
Это следует из (20, 21). Из рис. 3 следует, что массовые токи, т.е. струи жидкости совершают в зазоре круговые движения.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
Fig=3 (TokPotok14a.m)
20 40 60 80 0
0.02 0.04 0.06 0
5 10 15 20 25 30
Рис. 4.

7
Пример 3.
Основное течение
i
U
превращает круговые движения жидкости в движение по спирали с осью – окружностью, проходящей по центральной линии кругового зазора. На рис. 4 показано векторное поле токов


)
(
)
(
r
J
r
J
z
r

в отрезке такой спирали. Этот отрезок соответствует участку тороидальной спирали на рис. 1. Векторное поле показано только для одного радиуса этого тора. Синяя пунктирная линия изображает тор с этим радиусом, а красная пунктирная линия объединяет концы векторов


)
(
)
(
r
J
r
J
z
r

, исходящих из синей линии.
Характер рассмотренных движений соответствует движениям, наблюдаемым в экспериментах – см. рис. 1. Следовательно, можно утверждать, что вихри Тейлора объясняются гравитомагнетизмом.
Влияние гравитомагнитных сил возрастает с увеличением скорости движения. Поэтому при малых скоростях наблюдается ламинарное течение, но с увеличением скорости существенную роль начинают играть гравитомагнитные силы. Появляется турбулентность. С дальнейшим увеличением скорости эти силы начинают превалировать и возникают упорядоченные вихри.
Приложение 1
Рассматривается решение уравнений (3.4-3.8) в виде функций
(3.11-3.16). Далее производные по
r
будем обозначать штрихами.
Из (3.4) находим:
0
)
(
)
(
)
(
)
(







co
r
j
co
r
r
j
co
r
j
co
r
r
j
z
r
r



(1) или
0
)
(
)
(
)
(
)
(








r
j
r
r
j
r
j
r
r
j
z
r
r
(2)
Из (3.5, 3.6, 3.7) находим:
 
 
0
)
(
)
(






r
h
r
r
h
r
h
r
r
h
z
r
r



,
(3)
 
,
)
(
)
(
1
r
j
r
h
r
h
r
r
z






(4)
 
).
(
)
(
r
j
r
h
r
h
z
r






(5)
Из (3.8) находим:

8
 
)
(
1
)
(
)
(
r
j
r
h
r
r
h
r
r
h
z
r








(6)
Итак, получено 5 уравнений (2-6) с 6-ю неизвестными функциями
)
(
),
(
r
h
r
j
. Поэтому одну из функций можно определить произвольно. Мы определим функцию
)
(r
j

. В этом случае алгоритм решения этих уравнений имеет следующий вид:
1. Устанавливаем начальные (при
0

r
) нулевые значения всех перечисленных функций, кроме
)
(r
j

2. Определяем функцию
)
(r
j

3. Из (2) находим:
0
)
(
)
(
)
(
)
(









r
j
r
r
j
r
r
j
r
j
z
r
r
(7)
dr
j
j
j
r
rold
r




(8)
3. Из (3) находим:



z
r
r
h
r
h
r
h
h





,
(9)
dr
h
h
h
r
rold
r




(10)
5 Из (5) находим:
 


r
h
r
j
r
h
r
z




)
(
)
(
(11)
dr
h
h
h
z
zold
z




(12)
6. Из (4) находим:
 





r
j
r
r
h
r
h
r
z


/
)
(
)
(
(13)
 





r
j
r
r
h
r
h
r
z





/
)
(
)
(
(14)
7. Из (6) находим:
 



r
h
r
r
r
h
r
h
r
j
r
z





1
)
(
)
(
)
(
(15)
8. Переходим к п. 2 с новым значением переменной
r
Литература
Примечание: Vixra – архив 'viXra Funding',
DNA – "Доклады независимых авторов",
ISSN 2225-6717 1. Г. Шлихтинг. Теория пограничного слоя. Изд. "Наука",
Москва, 1974 (см. стр. 480).

9 2.
2. Хмельник С.И. Гравитомагнетизм: природные явления, эксперименты, математические модели,
ViXra,
; ДНА-34
, 2015.
3. Иванов Б.Н. Мир физической гидродинамики. От проблем турбулентности до физики космоса. Изд. 2-е. – М.:
Едиториал УРСС, 2010. – 240с.
4.
Турбулентность и сложное вихревое движение,
5.
Хмельник С.И.
Механизм возникновения и метод расчета турбулентных течений
,
ДНА-21,
2012
;
ViXra,
6.
Хмельник С.И.
О теоретическом обосновании эффекта
Ранка
, ViXra,

перейти в каталог файлов


связь с админом