Главная страница

978-5-4439-2081-8 Иванов Климчук Математический анализ для первокурсников. Книга состоит из двух формально независимых частей


Скачать 335.98 Kb.
НазваниеКнига состоит из двух формально независимых частей
Анкор978-5-4439-2081-8 Иванов Климчук Математический анализ для первокурсников.pdf
Дата22.05.2017
Размер335.98 Kb.
Формат файлаpdf
Имя файла978-5-4439-2081-8_Ivanov_Klimchuk_Matematicheskiy_analiz_dlya_pe
оригинальный pdf просмотр
ТипКнига
#20553
страница1 из 2
Каталогid112957742

С этим файлом связано 29 файл(ов). Среди них: Nyuton_I_Matematicheskie_nachala_naturalnoy_filosofii.pdf, PDF_Arkhimandrit_Lazar_Abashidze_Muchenie_lyubvi.pdf, Altshuller_G_-_Tvorchestvo_kak_tochnaya_nauka.pdf и ещё 19 файл(а).
Показать все связанные файлы
  1   2

Книга состоит из двух формально независимых частей:
• О. А. Иванов. 200 задач по курсу математиче- ского анализа;
• С. Климчук. Контрпримеры в курс математи- ческого анализа.
Части объединены общей целью: дать читателям более глубокое представление об основных поня- тиях математического анализа.
Книга предназначена студентам-первокурсникам нематематических специальностей вузов и препо- давателям математики.
ISBN 978-5-4439-0222-7 9 785443 902227 >
0
− 0.50
.5 0.01 0.05
− 0.01
− 0.05
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
ДЛЯ ПЕРВОКУРСНИКОВ
О. Иванов,
С. Климчук
0 4
− 1
− 2 4
2 6
− 2 3
1 2
0
1
1
1
2
2
3
3
О.
Иванов,
С.
Климчук
Математический
анализ
для
перв
ок
у
рсник
ов

О. Иванов, С. Климчук
Математический анализ для первокурсников
Электронное издание
Москва
Издательство МЦНМО


УДК 
ББК .
И
Иванов О., Климчук С.
Математический анализ для первокурсников
Электронное издание
М.: МЦНМО, 
 с.
ISBN ----
Книга состоит из двух формально независимых текстов, которые объединены общей целью: дать читателям более глубокое представ- ление об основных понятиях математического анализа, основываясь на разнообразных примерах.
Книга предназначена студентам-первокурсникам нематематиче- ских специальностей вузов и преподавателям математики высших учебных заведений.
Подготовлено на основе книги: Иванов О., Климчук С. Математический анализ для первокурсников. –– М.: МЦНМО, . ––  с.
Издательство Московского центра непрерывного математического образования
, Москва, Большой Власьевский пер., ,
тел. ()––.
http://www.mccme.ru
ISBN ----
© О. Иванов, С. Климчук, .
© МЦНМО, .

Содержание
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
 задач по курсу математического анализа
О. А. Иванов
От автора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Условия задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
§
1. Последовательности: первые свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
§
2. Пределы последовательностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
§
3. Существование пределов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
§
4. Общие свойства функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
§
5. Непрерывные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
§
6. Пределы функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
§
7. Пределы и производные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
§
8. Приложения дифференциального исчисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
§
9. Исследование функций и построение их графиков . . . . . . . . . . . . . . . .
20
Решения, комментарии, обсуждения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
§
1. Последовательности: первые свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
§
2. Пределы последовательностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
§
3. Существование пределов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
§
4. Общие свойства функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
§
5. Непрерывные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
§
6. Пределы функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
§
7. Пределы и производные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
§
8. Приложения дифференциального исчисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
§
9. Исследование функций и построение их графиков . . . . . . . . . . . . . . . .
70
Контрпримеры в курсе математического анализа
С. Климчук
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
Формулировки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
§
1. Функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
§
2. Пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
§
3. Непрерывность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
§
4. Дифференциальное исчисление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
§
5. Интегральное исчисление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
§
1. Функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
§
2. Функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
§
3. Непрерывность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
§
4. Дифференциальное исчисление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
§
5. Интегральное исчисление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Дополнение: контрпримеры в обучении математике . . . . . . . . . . . . . . . 131

Предисловие
Книга, предлагаемая вниманию читателя, состоит из двух фор- мально независимых текстов, дополняющих как друг друга, так и стандартный курс математического анализа (как часть курса
«высшей математики») для первокурсников нематематических спе- циальностей вузов. С точки зрения хронологии первой была на- писана и издана (на английском языке) ее вторая часть –– «Контр- примеры в курсе математического анализа» (S. Klymchuk, Counter-
Examples in Calculus, Maths Press, Auckland, New Zealand, ).
Ее автор Сергей Климчук (кандидат физико-математических наук,
специалист в области дифференциальных уравнений, доцент Тех- нологического университета в г. Окленд, Новая Зеландия) давно и активно интересуется проблемами преподавания математики.
Развиваемая автором педагогическая идея состоит в том, что по- строение контрпримеров к математическим утверждениям будет способствовать как более глубокому пониманию математики, так и развитию математического мышления учащихся, чего трудно достичь при традиционной постановке преподавания математики в (нематематическом) вузе. С этой мыслью, приводимыми автором примерами, а также аргументацией будет полезно познакомиться преподавателям математики российских вузов.
В результате размышлений пришло понимание того, что под- ход С. Климчука интересен, но его книгу имеет смысл дополнить.
В результате дальнейших размышлений и был написан текст «
задач по курсу математического анализа», ставший первой частью данной книги. Для того чтобы решить эти задачи, совершенно не обязательно много вычислять, однако надо уметь применить опре- деление, правильно воспользоваться известными утверждениями и,
наконец, просто понять поставленный вопрос. Некоторые из них предлагались автором на (письменных) экзаменах для студентов экономического факультета СПбГУ.
Иванов О. А., Санкт-Петербург


О. А. Иванов

От автора
Автор начинает это предисловие с одного воспоминания. Немно- гим более  лет назад он включил в «олимпиаду выпускников»,
проводившуюся мат-мехом СПбГУ, задачу, прочитав условие кото- рой один из коллег отреагировал на него так: «А в чем же, соб- ственно, состоит задача?» Однако после проверки работ участников олимпиады его реакция изменилась: «Да, теперь я вижу, что это действительно –– задача». Дело в том, что некоторые утверждения,
абсолютно очевидные для математиков, могут представлять серьез- ные трудности для учащихся или студентов со слабой математиче- ской подготовкой. И дело даже не в том, что эти студенты могут испытывать трудности, например, при проведении тождественных преобразований. Трудность часто состоит в необычной для них по- становке самого вопроса. Вузовский курс математического анализа
(высшей математики) во многом состоит из определений понятий,
доказательств их свойств и взаимосвязей между ними. А много ли математических понятий вводится в средней школе? Какие доказа- тельства имеются в школьном курсе «Алгебра и начала анализа»?
Думаю, что большинство математиков, ознакомившись с приве- денными ниже задачами, тоже могут отреагировать так же, как мой коллега. Поэтому хочу сразу предупредить, что эти задачи не пред- назначены для обучения будущих математиков. Автор использовал их в процессе преподавания математического анализа студентам экономического факультета. Большинство из этих заданий содер- жатся в учебных пособиях

, написанных совместно с доцентом мат- меха Б. М. Беккером, которому автор выражает свою искреннюю благодарность.
Более всего автор желал бы, чтобы те, кто преподает высшую ма- тематику студентам нематематических специальностей вузов, из- менили свою точку зрения на цели своей работы. По мнению ав- тора, бессмысленно учить, например, разнообразным подстановкам для вычисления интегралов или же требовать вычисления пределов

Курс математического анализа. Семестр  (учебное пособие). -е изд., испр. и до- полн. СПб.: ЭФ СПбГУ, .  с.; Семестр  (учебно–методическое пособие). СПб.:
ЭФ СПбГУ, .  с.


От автора искусственно нагроможденных функций. Двадцать лет назад автор вел на математико-механическом факультете СПбГУ семинар для студентов мат-меха –– будущих школьных преподавателей. На этом семинаре каждый из них представлял свою точку зрения на изло- жение определенного раздела школьной математики, представляя,
в том числе, и задачи, которые он бы предложил учащимся на сво- ем уроке. Практически всегда я, как руководитель этого семина- ра, задавал выступающему один и тот же вопрос: «А какова цель включения этой задачи; постановки того или иного вопроса?» Когда я смотрю на задачи из стандартных задачников, то достаточно часто цели-то и не вижу.
Поэтому специальным полиграфическим образом выделены коммента- рии педагогического характера, обращенные к преподавателям.
Объем включенного материала примерно соответствует перво- му семестру обучения. Именно этот семестр является ключевым
в обучении нематематиков математическим методам рассужде-
ния. Ко всем задачам даны подробные решения, для того чтобы эту книжку могли использовать и студенты. Совет студентам: даже если вы уверены, что задача вами решена, все равно взгляните на ее
«авторское» решение –– вдруг вы на что-то не обратили внимание.

Условия задач
§ . Последовательности: первые свойства
Поскольку следующие термины иногда используются в разных смыслах, дадим определение, используемое ниже. Итак, будем на- зывать последовательность x
n
возрастающей (убывающей), если
x
n+1
x
n
(соответственно x
n+1
x
n
) при всех n
∈ . Если же при всех натуральных n верно неравенство x
n+1
> x
n
(или же неравен- ство x
n+1
< x
n
), то эту последовательность будем называть строго
возрастающей (соответственно строго убывающей).
) Выясните, являются ли следующие числа c членами данной последовательности: а) x
n
=
2
n + 1
n + 1
, c =
9 5
;
10 7
;
22 9
; б) y
n
=
2
n
+
n
2
,
c = 17; 177; 1017; в) z
n
=
n
n
2
− 3n + 6, c = 1; 3; 5.
) Первые члены x
1
, x
2
и x
3
некоторой последовательности рав- ны
4 3
,
9 4
и
16 5
соответственно. Напишите естественную формулу для общего члена x
n
этой последовательности и выясните, является ли данная последовательность: а) монотонной; б) ограниченной.
) Дана последовательность x
n
=
1 1
· 2
+
1 2
· 3
+
… +
1
n(n + 1)
. Вы- числите несколько ее первых членов. Сформулируйте предположе- ние о формуле для ее общего члена и докажите его.
) Найдите все значения a, при которых является монотонной последовательность: а) x
n
=
n
2
+
an; б) y
n
=
an + 1
n + 2
. Выясните, явля- ются ли эти последовательности возрастающими или же убываю- щими.
) Верно ли, что: а) сумма двух монотонных последовательно- стей является монотонной последовательностью; б) произведение двух возрастающих последовательностей есть возрастающая после- довательность?
) Какие из следующих последовательностей являются монотон- ными: а) x
n
=
n
2
+
n + 1
n + 2
; б) y
n
=
n
2
+
1
n; в) z
n
=
sin
n?
) Верно ли, что: а) сумма двух ограниченных последовательно- стей есть ограниченная последовательность; б) сумма двух неогра- ниченных последовательностей есть неограниченная последова-


Условия задач тельность? в) А что можно сказать про сумму неограниченной и ограниченной последовательностей?
) Найдите наибольший член последовательности: а) x
n
=
n
2
n
;
б) y
n
=
2
n + 1
− 2n − 1; в) z
n
=
n
2
− 2
n
2
n + 1
) Найдите все значения a, при которых является ограниченной последовательность: а) x
n
=
an
2
+
1
n + 1
; б) y
n
=
n
2
+
1
an; в) z
n
=
=
sin(
an
2
+
1).
) Верно ли, что: а) произведение двух неограниченных после- довательностей есть неограниченная последовательность; б) част- ное двух неограниченных последовательностей есть неограничен- ная последовательность?
) Для последовательностей x
n
=
n
2 и
y
n
=
2
n
2
n
−1
− 1
укажите некоторый номер, начиная с которого верно неравенство:
а)
|x
n
− 1| < 0,1; б) | y
n
− 2| < 0,1.
§ . Пределы последовательностей
) Укажите все номера n, для которых справедливо неравенство:
а)
2
n + 1
n + 1
− 2 < 0,3; б)
2
n + 1
n + 1

3 2
< 0,3.
) Пусть последовательность x
n
является бесконечно малой. Для каких из следующих последовательностей y
n
верно, что произведе- ние x
n
y
n
также является бесконечно малой последовательностью:
а) y
n
=
(
−1)
n
; б) y
n
=
sin
n
2
; в) y
n
=
n?
) Приведите примеры, показывающие, что если x
n
–– бесконеч- но малая, а y
n
–– бесконечно большая последовательность, то про- изведение x
n
y
n
: а) может быть бесконечно малой последователь- ностью; б) может быть бесконечно большой последовательностью;
в) может быть ограниченной последовательностью, не имеющей предела; г) может быть неограниченной, но не являющейся беско- нечно большой последовательностью: д) может иметь своим преде- лом любое заданное действительное число.
) Найдите предел последовательности
x
n
=
1 3
· 5
+
1 5
· 7
+
… +
1
(2
n
− 1)(2n + 1)
) Известно, что x
n
→1 и y
n
→2. Что можно утверждать о последо- вательностях: а) z
n
=
2
x
n
−3 y
n
; б) u
n
=
x
n
y
n
; в) v
n
=
x
n
y
n
−2
; г) w
n
=
x
n
−1
y
n
−2
?

К
С. Климчук
Перевод с английского О. А. Иванова

Введение
Цель автора состояла в том, чтобы написать книгу, которая мог- ла бы служить дополнительным учебным пособием при изучении курса математического анализа в течение первого года обучения в университете (по мнению автора, ее можно использовать так- же в старших классах средней школы). Содержание этой книги со- ставляют тщательно сконструированные неверные математические утверждения, так что перед студентами стоит задача опровергнуть их путем построения соответствующих контрпримеров. Сформули- ровав теорему, являющуюся обратной к известной теореме курса анализа, мы почти всегда получим неверное утверждение. Другой путь построения неверных утверждений состоит в том, чтобы опу- стить или изменить часть условий в формулировке верного утвер- ждения. Многие из приведенных в этой книге утверждений на неис- кушенный взгляд могут показаться верными, часть из них связа- на со стандартными ошибками, допускаемыми студентами. Темати- ка книги соответствует стандартному курсу математического ана- лиза функций одной переменной; названия ее параграфов: Функ- ции, Пределы, Непрерывность, Дифференциальное исчисление, Ин- тегральное исчисление.
Большинству преподавателей хорошо известна книга Б. Гелбау- ма и Дж. Олмстеда «Контрпримеры в анализе»

. Она является пре- красным источником задач для будущих математиков, но, безуслов- но, содержащийся в ней материал лежит вне рамок программы для студентов-первокурсников, изучающих математический ана- лиз, к примеру, по популярной книге Д. Стюарта

. По сравнению с книгой «Контрпримеры в анализе», материал данной книги су- щественно проще, в этих книгах нет совпадающих заданий, таким образом, они не перекрываются, а дополняют друг друга. Замечу,
что, в отличие от книги Гелбаума и Олмстеда, для того чтобы при- меры стали более наглядными и легче воспринимались студентами,

М.: Мир, ; в  году в серии «Физико-математическое наследие» вышло новое издание этой книги. –– Прим. перев.

Stewart J. Calculus. 
th
ed. Thomson Learning, Inc.: Brooks/Cole, .  p.


Введение в данной книге приведены графики всех функций, являющихся контрпримерами к соответствующим утверждениям.
Существует педагогическая стратегия, состоящая в использова- нии контрпримеров для активизации процесса обучения математи- ческому анализу на его начальном этапе для лучшего понимания студентами как смысла вводимых понятий, так и логики изложения материала. Для реализации этой стратегии и нужна книга, подоб- ная этой. Она будет полезна
• учителям старших классов и преподавателям вузов как методи- ческое пособие, используемое в преподавании математического анализа;
• школьникам старших классов, а также первокурсникам вузов как учебное пособие при изучении математического анализа;
• учителям старших классов и преподавателям вузов как пособие,
способствующее повышению их квалификации и как математи- ков, и как педагогов.
Почему –– контрпримеры?
В нашу информационную эру важной способностью человека является умение анализировать информацию и быстро делать вы- вод о том, является она верной или же ложной. Контрпример есть пример, который показывает, что данное утверждение (предполо- жение, гипотеза, предложение, правило) является ложным. Для то- го чтобы опровергнуть утверждение, достаточно одного контрпри- мера. Контрпримеры играют важную роль не только в математи- ке, но и в других науках. Они являются сильным и эффективным орудием в руках научных работников, исследователей и практиков,
явно демонстрирующим, что выдвинутая гипотеза или же направ- ление исследований является ложным. Прежде чем начать доказы- вать некое предположение, часто бывает полезно вначале поискать контрпример к нему, что может сэкономить массу времени и сил.
Контрпримеры издавна играли важную роль в развитии матема- тики, история которой во многом и состоит в выдвижении гипотез и, в дальнейшем, их доказательстве либо же опровержении путем построения соответствующего контрпримера. Вот несколько хоро- шо известных примеров.
) В течение долгого периода времени математики старались найти формулу, задающую простые числа. К примеру, высказыва- лось предположение, что числа вида 2 2
n
+
1, где
n –– натуральное

Введение

число

, являются простыми. Однако оказалось, что существует конт- пример

. Уже для n = 5 это число является составным, поскольку
2 2
5
+
1 = 641
· 6700417.
) Следующая гипотеза о простых числах –– гипотеза Гольдбаха
(или Гольдбаха–– Эйлера) –– еще ждет того, чтобы быть либо дока- занной, либо же опровергнутой. Она была высказана Гольдбахом в  г. в письме к Эйлеру. Ее формулировка обманчиво проста:
всякое четное число, большее двух, является суммой двух простых
чисел. К примеру, 12 = 5 + 7, 20 = 3 + 17 и т. д. В  г. для поис- ка контрпримера к ней были использованы мощные компьютеры,
однако проверка всех четных чисел до 4
· 10 14
к успеху не привела

В  году издательство Фабер & Фабер предложило приз в  милли- он долларов тому, кто докажет или же опровергнет гипотезу Гольд- баха. До настоящего времени за этим призом никто не обратился.
) В XIX в. великий немецкий математик Вейерштрасс постро- ил свой знаменитый контрпример (по сути дела, это был первый фрактал) к следующему утверждению: непрерывная на промежутке
(
a; b) функция должна быть дифференцируемой хотя бы в одной
точке этого промежутка. Многие математики того времени посчи- тали, что построенная им «патологическая» функция, являющаяся непрерывной, но не дифференцируемой ни в одной точке, будет абсолютно бесполезной с точки зрения приложений математики.
Однако где-то через сто лет создатель кибернетики Норберт Винер в своей книге «Я –– математик» заметил, что подобные кривые су- ществуют и в природе. К примеру, ими являются траектории ча- стиц броуновского движения. В последующие десятилетия подоб- ные кривые стали объектом исследования в теории фракталов ––
активно развивающейся области математики, имеющей многочис- ленные практические применения.
Цель этой книги состоит в том, чтобы продемонстрировать пре- подавателям и студентам, что использование контрпримеров в про- цессе обучения/изучения математического анализа может:
• углубить понимание предмета;
• исключить (или, по крайней мере, свести к минимуму) невер- ное истолкование формулировок математических утверждений;

Так называемые числа Ферма. –– Прим. перев.

Найденный Л. Эйлером. –– Прим. перев.

К  г. были проверены все четные числа до 1,2
· 10 18
–– контрпримера так и не найдено. –– Прим. перев.


Введение
• способствовать развитию математического мышления (кото- рое, как известно, не является ни алгоритмическим, ни проце- дурным);
• усилить развитие таких сторон критического мышления, как способность к анализу, обоснованию, проверке, доказательству,
что принесет несомненную пользу во многих областях челове- ческой деятельности;
• расширить запас известных студентам содержательных приме- ров функций с интересными свойствами, что облегчит им обмен идеями в области как математики, так и ее приложений;
• сделать процесс обучения более активным и творческим.
. Углубление понимания предмета
В настоящее время многие студенты привыкли концентриро- вать свое внимание на технике решения задач, конкретных пре- образованиях, методах (рецептах) решений и не уделяют должно- го внимания определениям (понятий), формулировкам (утвержде- ний), свойствам (математических объектов, например функций),
а также обоснованию проводимых рассуждений.
«Когда студентам требуется применить некоторую теорему или же метод, они зачастую не удосуживаются проверить условия, при выполнении которых верна эта теорема или же применим данный метод. Мы предполагаем, что это происходит из-за того, что они просто не задумываются об этом, что происходит в силу того, что они не оперируют свободно математическими терминами и обо- значениями или же потому, что они не понимают роли условий в формулировках утверждений

». Будущему инженеру чрезвычайно важно развить в себе привычку оценивать границы, в которых бу- дет функционировать новое устройство. Например, самолет должен летать в шторм и в условиях турбулентности, а не только в иде- альную погоду. Уделение внимания условиям теорем будет способ- ствовать развитию такой полезной привычки. Заметим, что и в по- вседневной жизни важно обращать внимание на написанные мел- ким шрифтом «специальные условия продаж» в рекламных объяв- лениях.

Mason J., Watson A. Getting students to create boundary examples // MSOR Connec- tions. . V. , № . P. ––.

Введение

. Исключить неверное истолкование
В последние годы, частично в связи с широким использованием современных (компьютерных) технологий, практически исчезла та- кая компонента традиционного подхода (определение–– теорема––
доказательство–– пример–– применения) в преподавании математи- ческого анализа, как доказательство. Студенты привыкли доверять этим технологиям и не видят особой нужды в логических обос- нованиях. Иногда курсы математического анализа построены так,
что студенты встречаются в них только с «хорошими» функция- ми и примерами. Особенно это характерно для преподавания на уровне средней школы. Такой подход может привести к неверному пониманию, что объясняется следующим введенным Толлом прин- ципом «общего продолжения» : «Если некто в определенном контек- сте имеет дело с объектами, которые всегда обладают некоторым свойством, то при отсутствии контрпримеров он вполне может сде- лать вывод, что это свойство присуще объектам и в более широком контексте

».
Многие неверные формулировки, приведенные в этой книге,
построены на типичных студенческих ошибках, связанных с невер- ным пониманием (определений, формулировок, свойств). Есть раз- ница между ошибками, допускаемыми студентами при изучении алгебры и при изучении анализа. Ни в одном учебнике по алгебре вы не найдете такого «свойства», как, к примеру,
a + b =
a +
b,
и ни один учитель никогда не будет учить подобному «правилу».
С другой стороны, в некоторых учебных пособиях по математиче- скому анализу (чаще всего в тех, по которым учат в школе) мож- но найти некорректные формулировки. Например, «Если график
некоторой функции представляет собой непрерывную и гладкую
(не
имеющую углов
) кривую, то эта функция является дифференциру-
емой». Или, «Касательная к графику есть кривая, которая имеет
с кривой общую точку, причем в этой точке касательная не пере-
секает этот график». Некоторые студенты действительно выучи-
вают математический анализ подобным образом. Практика в по- строении контрпримеров поможет студентам исключить подобные ошибки, до того как они станут их второй натурой.

Tall D. The psychology of advanced mathematical thinking // Advanced Mathematical
Thinking. Dordrecht: Kluwer, . P. ––.


Введение
. Развитие математического мышления
Построение примеров и контрпримеров никоим образом не яв- ляется алгоритмической деятельностью и требует достаточно раз- витого математического мышления, которое, увы, не так часто фор- мируется в школе. «Умение построить пример основывается на со- всем других когнитивных качествах, чем умение действовать по за- данному алгоритму, –– для этого нужно смотреть на математические объекты через призму их свойств. Студентов часто ставит в тупик задача построения того или иного примера, поскольку нет никакого алгоритма, работая в соответствии с которым они оказались бы на
правильном пути

». Практикуясь в построении примеров и контр- примеров, студенты развивают свой творческий потенциал и мате- матическое мышление.
. Формирование критического мышления
Построение контрпримеров к неверным утверждениям имеет преимущество перед построением примеров функций с заданны- ми свойствами, поскольку при построении контрпримеров мы име- ем дело с опровержением, обоснованием, аргументацией, критиче- ским мышлением, что составляет неотъемлемую часть математиче- ского способа мышления. Развитие критического мышления помо- жет студентам не только во время их обучения в университете, но также и в их дальнейшей жизни.
. Расширение запаса примеров
После того как студенты придумали или хотя бы познакоми- лись с многочисленными примерами функций, обладающими ин- тересными свойствами, им будет проще даже разговаривать друг с другом, обмениваясь идеями, касающимися математики или ее приложений. Посредством деятельности, связанной с построением контрпримеров, студенты много узнают о поведении различных функций и оказываются в состоянии применить свои знания, решая реальные задачи.
Ограничимся двумя следующими примерами.

Selden A., Selden J. The role of examples in learning mathematics // The Mathematical
Association of America Online: www.maa.org/t_and 1/sampler/rs_5.html.

Введение

. Контрпримерами к утверждению . и утверждению . яв- ляются соответственно функции
f (x) =
sin
x
x
и
g(x) =
x
2
cos
π
x
,
если x = 0,
0,
если x = 0,
используемые при моделировании колебательных процессов.
. Контпримером к утверждению . является функция Френе- ля F(x) =
x
0
sin
πt
2 2
dt, которая, уже не говоря об ее использовании в геометрической оптике, недавно была применена в задаче, свя- занной с проектированием скоростных автомобильных дорог.
Как подчеркнул Генри Поллак, долгое время работавший в лабо- ратории Белла, «наше общество уделяет так много внимания пре- подаванию математики в школах, колледжах и университетах не потому, что математика очень красива, а она действительно кра- сива, или же не оттого, что занятия ею способствуют тренировке человеческого мозга, но потому, что она очень полезна».
. Сделать процесс обучения более активным и творческим
Опыт моих коллег и мой собственный педагогический опыт по- казывают, что педагогическая стратегия, построенная на исполь- зовании контрпримеров, может оживить процесс обучения, сделав его более творческим. Проведенное некоторое время назад между- народное исследование, в котором принимали участие более 
студентов из  университетов в различных странах мира, показало,
что подавляющее большинство его участников ( %) сочли полез- ным использование контрпримеров в процессе их обучения

. Они
(студенты) отметили, что это помогло им лучше понять смысл по- нятий, введенных в курсе анализа, предостерегало их от возможных ошибок, развивало логическое и критическое мышление и что они могли более активно воспринимать лекционный материал. Многие из них подчеркнули также, что построение многочисленных контр- примеров сделало их более критически мыслящими не только при- менительно к математике, но и в других областях жизни.
Существуют различные способы использования контпримеров в педагогическом процессе:

Gruenwald N., Klymchuk S. Using counterexamples in teaching Calculus // The New
Zealand Mathematics Magazine. . V. , № . P. ––.


Введение
• предлагать студентам вперемешку как верные, так и неверные формулировки;
• намеренно допускать ошибки на лекциях;
• просить студентов найти ошибку на определенной странице учебника;
• начислять студентам дополнительные баллы, учитывающиеся при выводе окончательной оценки по лекционному курсу, за представленные ими прекрасные контрпримеры к трудным за- даниям.
Наконец, их можно использовать с целью оценки знаний студентов.
Структура книги
Первая часть состоит из формулировок неверных утверждений,
связанных с материалом пяти основных тем вводного курса матема- тического анализа, а именно: Функции, Пределы, Непрерывность,
Дифференциальное исчисление и Интегральное исчисление. В каж- дом из соответствующих разделов утверждения располагаются в по- рядке повышения сложности предложенных заданий. Некоторые утверждения, особенно расположенные в начале каждого из разде- лов книги, являют собой примеры типичных студенческих ошибок,
связанных с неверным пониманием определений, условий утвер- ждений или же свойств математических объектов. В некоторых слу- чаях сформулированные в книге утверждения кажутся верными,
так что студентам надо серьезно поработать для построения соот- ветствующего контрпримера. Я надеюсь, что приводимые в этой книге примеры будут интересны всем ее читателям.
Во второй части книги приведены решения всех заданий. Ко- нечно, автор надеется, что читатели будут также строить и свои контрпримеры. К некоторым из решений даны дополнительные комментарии, адресованные в основном студентам.
В дополнении обсуждаются педагогические идеи и конкретные результаты использования контрпримеров в процессе обучения ма- тематическому анализу.
Сергей Климчук,
кандидат физико-математических наук,
доцент Технологического университета,
Окленд (Новая Зеландия)

Формулировки
Подчеркнем еще раз, что все формулировки приводимых далее утверждений являются неверными, что и должен показать читатель путем построения соответствующего примера (т. е. контрпримера).
  1   2

перейти в каталог файлов
связь с админом