Главная страница
qrcode

Все о R-L-C контуре. Методическое пособие по подготовке к олимпиадам. Составитель Паркевич Егор Вадимович Москва 2014 Оглавление


НазваниеМетодическое пособие по подготовке к олимпиадам. Составитель Паркевич Егор Вадимович Москва 2014 Оглавление
АнкорВсе о R-L-C контуре.pdf
Дата05.04.2017
Размер4.62 Mb.
Формат файлаpdf
Имя файлаVse_o_R-L-C_konture.pdf
оригинальный pdf просмотр
ТипМетодическое пособие
#6776
страница1 из 5
Каталог
  1   2   3   4   5
Московский физико-технический институт
Всё об R − L − C контуре.
Методическое пособие по подготовке к олимпиадам.
Составитель:
Паркевич Егор Вадимович
Москва
2014

Оглавление.
• Колебательный контур
• Токи становления процессы установления тока при зарядке и разрядке конденсатора наличие катушки индуктивности контуры, содержащие C, R, Параметрические колебания качели параметрический контур
Замечание:
Задачи на темы токи становления и параметрические колебания являются задачами повышенной сложности и отмечены звёздочкой

1
Колебательный контур.
Известно, что одним из свойств электрического поля является то, что оно обладает энергией и эта энергия может превращаться в другие виды. Энергия электрического поля заряженного конденсатора при подключении его к лампе накаливания превращается во внутреннюю энергию проводника ив конечном счете, в энергию теплового и светового излучения.
Если электрическую лампу подключить параллельно катушке индуктивности, то при размыкании рубильника лампа ярко вспыхивает, это говорит о том, что магнитное поле также обладает энергией и эта энергия может превращаться в другие виды.
Превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно происходят при свободных механических колебаниях. Могут ли свободные колебания происходить в электрических цепях?
Ответ на этот вопрос дает следующий опыт. Зарядив конденсатор,
отключим его обкладки от источника постоянного тока и подключим их через гальванометр к выводам катушки с большой индуктивностью. При этом стрелка гальванометра сначала отклоняется в одну сторону, затем возвращается к нулевому делению шкалы, проходит его и отклоняется в противоположную сторону и т. д, т. е.
совершает несколько колебаний. Колебания стрелки гальванометра показывают, что в данной электрической цепи происходят свободные колебания силы тока в катушке, а значит, заряда и напряжения на обкладках конденсатора.
Рассмотрим механизм возникновения них колебаний. При подключении обкладок заряженного конденсатора к концам катушки в ней возникает электрический ток. Если индуктивность катушки велика, а электрическое сопротивление ее проводов мало, то и потери энергии на нагревание провода малы в основном энергия электрического поля заряженного конденсатора превращается в энергию магнитного поля. Мгновенной разрядке конденсатора препятствует ЭДС самоиндукции, сдерживающая процесс возрастания силы тока в катушке. Стечением времени конденсатор постепенно разряжается, напряжение на его обкладках уменьшается, уменьшается и энергия электрического поля между обкладками. Одновременно возрастает сила тока в катушке и увеличивается энергия ее магнитного поля. В тот момент, когда конденсатор полностью разрядится и энергия электрического поля станет равной нулю, сила тока в катушке и энергия магнитного поля достигнут максимальных значений.
После разрядки конденсатора и исчезновения внешнего электрического поля сила тока в катушке,
казалось бы, должна стать со временем равной нулю. Но убывание силы тока в катушке приводит к уменьшению магнитного потока, что вызывает появление в катушке ЭДС самоиндукции и индукционного тока. Направление индукционного тока таково, что он препятствует уменьшению магнитного потока. Следовательно, индукционный ток имеет такое же направление, какое ток имел при разрядке конденсатора. Поэтому конденсатор заряжается индукционным током катушки
Рассмотрим превращения энергии в колебательном контуре. Из закона сохранения энергии следует, что при отсутствии сопротивления максимальное значение энергии электрического поля заряженного конденсатора равно максимальному значению энергии магнитного поля катушки:
W
э
= мили В произвольный же момент времени сумма энергий электрического и магнитного полей является величиной постоянной:
С U
2 2
+
Li
2 Эту же зависимость можно записать итак Если бы вся энергия электрического поля при разрядке конденсатора превратилась в энергию магнитного поля катушки, а энергия магнитного поля катушки затем полностью превратилась в энергию электрического поля конденсатора, то обкладки конденсатора зарядились бы до первоначального напряжения между ними, только знаки зарядов на обкладках оказались бы противоположными первоначальным.
Конденсатор стал бы разряжаться через катушку и т. д. Процесс этот повторялся бы периодиче- ски.
Периодически повторяющиеся изменения силы тока в электрической цепи, сопровождающиеся периодическими превращениями энергии электрического поля в энергию магнитного поля (и наоборот, происходящие без потребления энергии от внешних источников, называются свободными электромагнитными колебаниями. Электрическая цепь из конденсатора и катушки, в которой происходят электромагнитные колебания, называется электрическим колебательным контуром.
В реальном электрическом контуре из-за потерь энергии на нагревание проводников и диэлектриков энергия магнитного и электрического полей постепенно превращается во внутреннюю энергию
Изменения силы тока в катушке и напряжения на конденсаторе со временем уменьшаются и через некоторое время прекращаются. Таким образом, свободные электромагнитные колебания в контуре оказываются затухающими.
Найдем зависимость от времени силы тока в катушке и напряжения на конденсаторе идеального электрического колебательного контура при возникновении свободных электромагнитных колеба- ний.
Запишем закон Ома для неоднородного участка цепи = △ϕ + iR, где E — электродвижущая сила, △ϕ — разность потенциалов на участке цепи и R
— его активное сопротивление.
В колебательном контуре E = −Li

— ЭДС самоиндукции, △ϕ = q/C — разность потенциалов на пластинах конденсатора (здесь i

=
di dt
). Подставив в закон Ома эти выражения ЭДС и разности потенциалов, получим q/C + Учитывая, что сила тока есть производная от электрического заряда повремени получим следующее дифференциальное уравнение+ Rq

+ q/C = Полагая, что у идеального колебательного контура можно активным сопротивлением пренебречь
(т. е. R ≈ 0), получим окончательно+ q/C = 0, или q
′′
+
1
CL
q = Это же уравнение можно получить проще, продифференцировав выражение и учтя, что i = и i

= q
′′
. Имеем+ Lii

= 0, или q
C
+ Lq
′′
= Как легко проверить подстановкой, решением уравнения является функция = q m
cos(ω
0
t + ϕ), где Величина называется собственной круговой (или циклической) частотой колебаний в контуре,
а выражение T = 2π

LC — периодом свободных или собственных колебаний (это выражение также носит название формулы Томсона).
Рассмотрим теперь такое понятие как добротность контура. Нам известно, что в реальном колебательном контуре свободные колебания затухают. Возникает вопрос в каких случаях можно пренебречь затуханием колебаний и воспользоваться выведенными выше соотношениями, в частности формулой Томсона?
Очевидно, что мы не сделаем большой ошибки в случае, когда можно пренебречь количеством теплоты, выделяющимся в контуре в течение четверти периода (за это время происходит процесс превращения энергии заряженного конденсатора в энергию магнитного поля катушки или наоборот).
Итак, контур можно считать почти идеальным, если Q
тепл
≪ W
м
, или Q
тепл
≪ LI
2
m
/2.
4
Можно показать, что при синусоидальном токе количество теплоты, выделяемое на резисторе за четверть периода, равно Q
тепл
= I
2
m
RT /8, действительно, в выражении для формулы Джоуля стоит квадрат тока, атак как нас интересует его среднее значение за период, тов силу того, что среднее значение sin(ωt + равно 1/2. Тогда искомое условие примет вид /8 ≪ LI
2
m
/2, или R С учетом выражения для периода получим Итак, если сопротивление контура удовлетворяет этому условию, то контур в течение небольшого числа колебаний можно считать идеальными пренебречь затуханием.
Введем величину Q =
1
R
 L
C
, называемую добротностью контура. Тогда условие (1) перепишется так Итак, если добротность контура много больше единицы, то период и частоту можно вычислять,
использовав формулу Томсона в случае идеального контура.
Примеры.
Задача №1 (Электромеханическая аналогия)
Если сила есть функция координаты, то с математической точки зрения второй закон механики Ньютона устанавливает связь между ускорением (второй производной координаты повремени, действующей силой и массой. Аналогичные уравнения могут возникать ив задачах немеханического типа.
Рассмотрим контур, состоящий из конденсатора емкостью Св начальный момент его заряд равен q) и катушки с индуктивностью L. Мгновенное значение тока можно определить по скорости изменения заряда Q на обкладке конденсатора. В свою очередь э. д. с. самоиндукции простым образом выражается через скорость изменения тока. Если выразить напряжение конденсаторе через заряди воспользоваться соответствующим законом Кирхгофа для контура, не имеющего активного сопротивления, то можно получить связь между ускорением заряда и самим зарядом. Пользуясь теперь механическими аналогами, ответьте наследующие вопросы) По какому закону сила тока зависит от времени б) Чему равен период колебания контура?
в) Какова максимальная величина силы тока
г) Можно ли провести аналогию между резистором R (включенным в контур последовательно с индуктивностью L) и некой дополнительной силой (какой) в соответствующей задаче механики?
д) Можно ли этим же методом определить зависимость силы тока от времени в контуре, состоящем из источника тока с постоянной э. д. си ничтожно малым внутренним сопротивлением,
подключенного к катушке с индуктивностью Решение Рассмотрим электрический контур, показанный на риса. Пусть q и i означают соответственно заряд на конденсаторе и силу тока в момент t = 0, a и I — заряди ток в момент t. В
системе нет внешнего источника тока. Как следует из второго закона Кирхгофа, сумма напряжений на конденсаторе и катушке должна равняться нулю = 0, но I Значит Мы получили дифференциальное уравнение, которое при известных L и С можно решить и получить зависимость Q(t), то есть определить, каким образом заряд конденсатора изменяется со временем.
Мы видим, что ускорение заряда, или его вторая производная повремени, пропорционально самому заряду. Подобная ситуация имеет место в механике пои описании гармонического движения.
При гармонических колебаниях вторая производная отклонения тела (ускорение) от положения равновесия пропорциональна отклонению. Например, для шарика массой m (рис. 6), привязанного к закрепленной одним концом невесомой пружине, имеющей коэффициент упругости k и лежащей на горизонтальном гладком столе, имеем m−

a = −k−

x , где −

a — ускорение шарика, −

x — его отклонение от положения равновесия. Знак минус в правой части уравнения означает, что ускорение и отклонение направлены в противоположные стороны. Будем считать, что колебания совершаются вдоль одной оси, например вдоль оси х . Тогда скорость шарика v определяется формулой v =
dx а ускорение a =
dv dt
. Тогда можно записать d
2
x dt
2
= −kx
6
Это дифференциальное уравнение, из которого, зная m и k, можно определить функцию иными словами, зависимость отклонения от времени.
Уравнения (1) и (2), несмотря на различия входящих в них параметров, одинаковы. Если взять решение одного из них и заменить одни параметры соответствующими параметрами, которые введены во втором уравнении, то получим решение второго уравнения. Именно так должно быть, поскольку ход решения уравнения не зависит оттого, какими буквами обозначены входящие в него величины.
Установим теперь соответствие между величинами, входящими в эти два уравнения. Очевидно, что массе m можно сопоставить индуктивность L, коэффициенту упругости k — величину, обратную емкости С , а отклонению х — заряд Далее посмотрим, какие еще механические величины, не входящие непосредственно в уравнение, можно сопоставить электрическим. Скорость определяем как производную координаты во времени v =
dx Согласно установленному соответствию, х переходит вне изменяется.
Значит, v =
dx dt

dQ
dt
= I. Электрическая величина, соответствующая скорости, — это сила тока.
Кинетическая энергия шарика равна Е
к
=
mv
2 Поскольку при замене механической системы ее электрическим аналогом m → L, a v → I, можно записать Е
к
=
mv
2 2

1 2
LI
2
= Следовательно, кинетической энергии шарика соответствует энергия, накопленная в катушке,
через которую проходит ток.
Аналогично потенциальной энергии натянутой пружины соответствует энергия, которой. обладает заряженный конденсатор п 2
kx
2

1 2
Q
2
C
= Теперь рассмотрим дифференциальное уравнение (2). Школьная программа не включает дифференциальных уравнений, но окончательное решение этого уравнения, зависимость x(t) при гармоническом движении, приводится в школьном курсе) = x
0
sin
 2π
T
t + ϕ
0

, где x
0
— амплитуда колебаний, или величина или большего отклонения,
Т — период колебаний, ϕ
0
— начальная фаза, или величина аргумента функции и момент t = Обычно, чтобы избавиться от дроби, вводится величина ω, равная Т .
Тогда
(3)
х (t) = х + Для шарика, колеблющегося на пружине, T = 2π
 m k
, ω =
 k Как в таком случае изменяется скорость шарика Как мы уже говорили, скорость v = Тогда, дифференцируя уравнение (3), получаем) = х cos(ωt + Скорость имеет наибольшую абсолютную величину v max
, когда cos α = ±1 (при этом х = следовательно v max
= Теперь посмотрим, чему эквивалентно последнее выражение при переходе от механической системы к электрической
Отметим, что Q изменяется по закону Q(t) = Q
0
sin(ωt + ϕ
0
), где ω = Т .
| Q
0
| — наибольшая величина заряда на конденсаторе. Поскольку при замене механической системы электрической m → L, a k → Сто Силу тока можно определить двумя способами. Ее можно записать как производную заряда) повремени или воспользоваться зависимостью v от t для механической системы и заменить механические величины их электрическими аналогами) = Q
0
ω cos
 2π
T
t + ϕ
0

, где Т = Тогда наибольшая величина силы тока в контуре равна I
max
=| Q
0
| ω =
| Итак, в контуре происходят синусоидальные колебания, причем фазы колебаний заряда Q и тока сдвинуты на π/2:
Q ∼ sin(ωt + ϕ
0
), I ∼ cos(ωt + Отметим, что независимо от величины и ϕ
0
, если только ω = 1/

LC, то Q(t) определяется уравнением (1). В принципе решением этого уравнения является не одна какая-то функция Q(t), но целое семейство функций, каждая из которых соответствует определенным, конкретным значениями. На первый взгляд это выглядит странным. Казалось бы, что если имеется конкретная система, то должна существовать только одна функция Q(t), описывающая изменение заряда конденсатора со временем. Это неверно. В данной системе могут происходить различные колебания,
например отличающиеся по амплитуде. Очевидно, что два колебания с различными амплитудами не могут описываться одинаковыми зависимостями Чтобы определить конкретную функцию Q(t), те. установить значения и для данной системы, нужно видеть за схемой нечто большее, чем просто соединенные между собой отдельные элементы. В нашем случае, например, помимо самой схемы для определения и ϕ
0
, а следовательно) необходимо знать величину заряда на конденсаторе и силу тока в контуре в момент t = Это так называемые начальные условия. По известным начальным условиям можно из семейства функций Q(t) выбрать одну, описывающую конкретный случай колебания.
В рассматриваемой задаче электрическая система описывается следующими начальными условиями Второе равенство означает, что в момент подключения катушки к конденсатору (t = 0) ток в контуре равен нулю. Итак, имеем Q
0
sin

1

LC
· 0 + ϕ
0

= q, Q
0

1

LC
· 0 + ϕ
0

= Произведя несложные вычисления, получаем Q
0
= q, ϕ
0
= π/2. Значит, в рассматриваемой нами системе при заданных начальных условиях величины Q и I изменяются последующим законам) = q cos t

LC
, I(t) = −
q

LC
sin Наибольшие абсолютные значения Q и I соответственно равны | q | и | q | /LC. Период изменения и I равен Т = 2π

LC.
8
Таким образом, мы получили ответы на первые три вопроса, поставленные в условиях задачи.
Чтобы ответить на четвертый вопрос, рассмотрим контур, показанный на рис. Согласно второму закону Кирхгофа, сумма падений напряжения на отдельных элементах контура должна быть равна нулю, если контур не имеет внешнего источника э. д. с.
Значит, L
dI
dt
+
Q
C
+ RI = 0, или L
d
2
Q
dt
2
= −
1
C
Q − Механической аналогией этой зависимости является следующее уравнение d
2
x dt
= −kx − γ
dx dt
, или ma = −kx − Сравнивая эти выражения, видим, что падение напряжения на сопротивлении, равное соответствует тормозящей силе γv, пропорциональной скорости. В механике сила, пропорциональная скорости, связана сдвижением в вязких средах. Резистор, таким образом, является аналогом вязкой среды.
Нам осталось ответить еще на один вопрос. Необходимо определить зависимость силы тока от времени в контуре, состоящем из источника с постоянной э. д. с, имеющего нулевое внутреннее сопротивление, и катушки. Из второго закона Кирхгофа имеем для этого контура L
dI
dt
= E , т. е.
напряжение на катушке должно быть равно э. д. с, источника. Это уравнение можно записать в виде E В механической системе левой части этого уравнения аналогично выражение m d
2
x dt
2
, или Из механики известно, что та = F , где F — сила, действующая на тело массой m и сообщающая ему ускорение а. Следовательно, механическим аналогом э. д. с. является сила F . В механике уравнение, эквивалентное (4), записывается как ma = F Это уравнение описывает движение материального тела с постоянным ускорением а. Как известно, скорость при равноускоренном движении изменяется со временем по закону) = v
0
+ at = v
0
+
F
m t
9
Поскольку при переходе от механической системы к электрической v → I, т → L, F → E для рассматриваемой электрической системы можем записать I(t) = Таким образом, мы получили ответ на последний вопрос. Как видно из этого уравнения, сила тока изменяется со временем равномерно (I
0
— величина тока в момент t = 0). Теперь вспомним о законе сохранения энергии. Система, изображенная на риса, является изолированной, поэтому ее полная энергия, равная сумме кинетической и потенциальной энергии, остается постоянной 2
mv
2
+
1 Для электрической системы, показанной на рис. б, это означает, что величина 2
LI
2
+
Q
2 2C
= Воспользуемся этим фактом при решении следующей задачи. Уравнение (1) можно почленно умножить на произвольную постоянную величину и ввести эту постоянную под знак дифференцирования (Значит, уравнение (1) можно записать в различных формах, например −
1
L
Q,
C
d
2
(CQ)
dt
2
= −
1
L
(CQ), где α и β — некоторые постоянные, отличные от нуля.
Воспользовавшись рассмотренными здесь примерами и уравнением (2), можно было бы установить несколько разных электромеханических аналогов, например m ↔ C, x ↔ Q, k Подобные аналогии можно развивать и дальше, устанавливая соответствие между другими электрическими и механическими величинами. Более того, все эти, казалось бы, внешне различные аналогии приводят к одними тем же физическим выводам, в чем читатель может без труда убедиться сам. Именно поэтому слово разные взято в кавычки.
Рассмотренная задача иллюстрирует очень простой и очевидный принцип, о котором, пожалуй,
слишком редко упоминают, хотя часто им пользуются. Этот принцип гласит, что одинаковые уравнения имеют одинаковые решения независимо оттого, какой физический смысл имеют отдельные входящие в них величины. Этот принцип очень важен и позволяет упростить многие исследования.
Между прочим, именно благодаря ему удается проанализировать на ЭВМ разнообразные физические процессы.
Ответ:
смотри решение.
Задача Имеется контур, составленный из конденсатора емкостью С (вначале незаряженного, катушки индуктивности L с активным сопротивлением R = 0 и батареи источников э. д. с. с ничтожно малым внутренним сопротивлением, подключенной через неоновую лампу Л (см. рис.).
Неоновая лампа ведет себя как изолятор, когда напряжение на ее зажимах меньше напряжения зажигания U
заж
. При превышении напряжения зажигания через лампу очень быстро происходит разряд конденсатора, в результате напряжение на лампе падает до напряжения гашения U
гаш
, иона снова перестает проводить электрический ток. Время разряда конденсатора через неоновую лампу так мало, что изменением тока в катушке за этот период можно пренебречь
Доказать, что при значениях E = 34 В, U
заж
= 64 В, U
гаш
= 22 В при замыкании ключа К неоновая лампа вспыхнет только один раз.

  1   2   3   4   5

перейти в каталог файлов


связь с админом