Главная страница

Математика. 50 идей, о которых нужно знать. Тони Крилли. ОглавлениеВведение 301 Нуль 402 Системы чисел 8


Скачать 3.79 Mb.
НазваниеОглавлениеВведение 301 Нуль 402 Системы чисел 8
АнкорМатематика. 50 идей, о которых нужно знать. Тони Крилли.pdf
Дата08.01.2018
Размер3.79 Mb.
Формат файлаpdf
Имя файлаMatematika_50_idey_o_kotorykh_nuzhno_znat_Toni_Krilli.pdf
оригинальный pdf просмотр
ТипДокументы
#36067
страница1 из 24
Каталогvaschechek

С этим файлом связано 5 файл(ов). Среди них: Matematika_50_idey_o_kotorykh_nuzhno_znat_Toni_Krilli.pdf, arkhitektura_za_30_sekund.pdf, пресс-релиз Ночь искусств(12).docx, афиша-программа 2017.docx, Uchebnik_po_obschey_khimii_dlya_medikov_Popkov.pdf, 196-_Obschaya_khimia_Korovin_N_V_1998_-559s.pdf.
Показать все связанные файлы
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   24
Тони Крилли
МАТЕМАТИКА
50
ИДЕЙ
, о которых нужно знать

2
Оглавление
Введение 3
01 Нуль 4
02 Системы чисел 8
03 Дроби 12
04 Квадраты и квадратные корни 16
05
/
20
06 e 24
07 Бесконечность 28
08 Мнимые числа 32
09 Простые числа 36
10 Совершенные числа 40
11 Числа Фибоначчи 44
12 Золотые пропорции 48
13 Треугольник Паскаля 52
14 Алгебра 56
15 Алгоритм Евклида 60
16 Логика 64
17 Доказательство 68
18 Множества 72
19 Исчисление 76
20 Построения 80
21 Треугольники 84
22 Кривые 88
23 Топология 92
24 Измерение 96
25 Фракталы 100
26 Хаос 104
27 Аксиома параллельности 108
28 Дискретная геометрия 112
29 Графы 116
30 Задача четырех красок 120
31 Вероятность 124
32 Теория Байеса 128
33 Парадокс дней рождения 132
34 Распределения 136
35 Кривая нормального
распределения 140
36 Связанные данные 144
37 Генетика 148
38 Группы 152
39 Матрицы 156
40 Шифры 160
41 Высшее вычисление 164
42 Волшебные квадраты 168
43 Латинские квадраты 172
44 Математика денег 176
45 Задача о диете 180
46 Задача коммивояжера 184
47 Теория игр 188
48 Относительность 192
49 Великая теорема Ферма 196
50 Гипотеза Римана Словарь Предметный указатель 206

3
Введение
Математика — предмет обширный, и никому не под силу знать ее всю. Но ее можно изучать, искать в ней собственный путь, и нам откроются вопросы, не первое столетие волнующие математиков разных культур и времен. И на древнюю, и на современную математику влияли и массовая культура, и политика. Современная система чисел, обросшая ракушками древности, происходит из Индии и Аравии.
Шестидесятеричная система счисления Древнего Вавилона II–III тысячелетий до нашей эры по-прежнему жива в минуте у нас 60 секунда в часе 60 минут прямой угол по-прежнему равен
90°, а не ста, как в свое время решила для себя Франция, после Революции устремившись к десятичной системе во всем. Победы техники наших дней зиждутся на математике никакой доблести в плохой успеваемости поэтому предмету не осталось вовсе — прошли те времена. Школьная математика — отдельное занятие, нацеленное, в основном, на сдачу экзаменов. Плотное расписание тоже не способствует погружению в предмета математика не терпит поспешности. Для впитывания математических идей требуется время. Некоторые величайшие математики бывали до крайности непро- ворны в своих попытках постичь глубинные принципы этой дисциплины.
Вы тоже не спешите поскорее прочесть эту книгу. Неторопливо изучите предложенные втек- сте идеи — вам, вероятно, они уже знакомы, но теперь, быть может, вы поймете их подлинный смысл. Начните с Нуля — или с любой другой главы и странствуйте меж островов математического знания. Например, вы узнаете много нового о теории игр или о волшебных квадратах. А можете двинуться от золотого сечения к знаменитой последней теореме Ферма — или любым иным путем.
В математике сейчас наступило интереснейшее время. Кое-какие ключевые задачи этого предмета были решены буквально недавно. Современные компьютерные технологии помогли с некоторыми загадками, а в отношении других они по-прежнему бессильны проблему четырех красок решили компьютеры, а гипотеза Римана, о которой мы говорим в последней главе, ни нам, ни нашим компьютерам таки не поддалась. В математике, как ив искусстве или музыке, были и есть свои гении, однако они — еще не вся история предмета. Подлинный прогресс этой науки — накопленная за века работа многих. Выбор 50 тем для разговора — вполне субъективный, ноя постарался соблюсти равновесие. В книгу включены как повседневные, таки более сложные представления, теоретическая и прикладная математика, абстрактная и предельно конкретная, древняя и новая. Математика — единый предмет, и главная трудность при составлении этой книги заключалась даже не в том, что именно в нее включить, а что оставить за скобками. Можно было бы запросто собрать и 500 идейно и 50 — вполне славное начало вашей математической карьеры

ǞǟǝǒǘǍ ǏǝǒǙǒǚǕ
4
ǺȀǸȉ
01
Нуль
Еще детьми мы делаем первые неуклюжие шаги в стране чисел. Мы узнаем, что 1 — начало численного алфавита, что с единицы начинается последовательность натуральных чисел
1, 2, 3, 4, 5, ... Натуральные числа возникают при счете чего угодно — яблок, апельсинов, бананов, груш. И лишь позднее мы учимся считать яблоки в том ящике, где их нет.
Даже древние греки, квантовыми скачками развивавшие науку вообще и математику в частности, и древние римляне, знаменитые своими инженерными свершениями, никак не могли сладить с подсчетом яблок в пустом ящике. Ничто никак не могло быть поименовано. Римляне разобрались стем, как записывать I, V, X, L, C, D и M, но где же у них был 0? Ничто они считать не умели.
Утверждение нуля
Утверждение нуля Применять символ, обозначающий ничто, начали, как принято считать, тысячи лет назад. Нуль разнообразно использовала майянская цивилизация, существовавшая на территории современной Мексики. Чуть погодя астроном Клавдий
Птолемей, находясь под влиянием вавилонян, использовал нуль в своей системе счисления в качестве заполнителя, заглушки. Нуль в таком случае применялся для отделения одного числа от другого при написании вряд и 705, допустим, — чтобы не полагаться на контекст, как делали древние вавилоняне. Подобную функцию в языке выполняет запятая — она помогает прочитывать написанное правильно, итак же, как есть свои правила расстановки запятых, нуль должен ставиться по определенным правилам.
Индийский математик VII века Брахмагупта считал нуль числом, те. непросто заполнителем пустого места, и ввел некоторые правила его
700
DZǻ Ǻ. Ȋ. Вавилоняне применяют нуль как символ-заполнитель
Брахмагупта применяет нуль как число и формулирует правила его использования

ǺȀǸȉ применения. Например, сумма положительного числа и нуля — положительна, сумма двух нулей равна нулю. Представления Брахмагупты о нуле как о числе, а не о заглушке были для его времени крайне прогрессивны. На Западе индо-арабскую систему чисел, включавшую нуль как число, распространил Леонардо Пизанский — Фибоначчи ей он посвятил свой труд 1202 года «Liber Abaci» (Книга абака. Фибоначчи вырос в Северной Африке, был обучен индо-арабской арифметике и осознал великую пользу символа «0», написанного вместе с индийскими цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и С введением нуля в систему чисел встал вопрос, которого Брахмагупта коснулся лишь слегка как же обращаться с этим чужаком Зачин был индийским математиком положен, однако его рекомендации остались довольно смутными. Как же поточнее ввести нуль в существовавшую уже тогда арифметическую систему Некоторые правила были вполне очевидны при сложении и умножении с нулем проблем не возникало, а вот вычитание и деление с участием этого иностранца оказывались затруднительны. Для того чтобы нуль не конфликтовал с остальной общепринятой арифметикой, необходимо было дополнить понятийный аппарат.
Как обходиться с нулем?
Как обходиться с нулем?
Сложение и умножение на нуль просты и незатейливы можете прибавить 0 к 10 и получить стонов данном случае мы имеем ввиду именно прибавить в самом не умозрительном смысле слова. Сложение нуля с любым числом ничего в этом числе не меняет, а умножение на нуль любого числа всегда дает нуль в ответе. Например, 7 + 0 = 7, а 7 × 0 = 0. Вычитание — простая операция, хотя в результате могут возникнуть отрицательные числа 7 – 0 = 7, но 0 – 7 = – 7, а вот с делением на нуль все непросто.
Вообразим, что нам надо измерить некоторую длину при помощи мерной рейки. Положим, у рейки этой 7 единиц-делений. Нам надо выяснить, сколько таких реек уложится по заданной длине. Если эта длина — 28 единиц, то ответом будет результат деления 28 нате. Еще лучше записать это действие таки тогда мы можем перекрестно умножить 7 на 4 и записать тоже самое в виде умножения 28 = 7 × 4. Какой же смысл мы можем извлечь из деления нуля на семь Обозначим результат такого деления буквой аи получим следующее выражение a
7 830 1100 1202
* Абаком Фибоначчи называл арифметические вычисления.
Махавира излагает соображения о том, как нуль взаимодействует с другими числами
Бхаскара применяет нуль как алгебраический символ и пытается показать, как с ним обращаться
Фибоначчи применяет нуль, дописывая его после индо-арабских цифр от 1 до 9, ноне как отдельное число, а как дополнение к ним

6
Перекрестно умножив, получим 0 = 7 × а. Таким образом, у а может быть лишь одно значение — нуль, потому что, если приумножении одного числа на другое получается нуль, одно из этих чисел обязано быть нулем. Очевидно, 7 неравно нулю, значит, нулю равно а.
Но не это главная загвоздка с нулем. Опасность заключается в делении на нуль. Если мы попытаемся обращаться с выражением
7
/
0
также, как и сто получим вот такое уравнение Умножаем перекрестно и получаем 0 × b = 7 — ив итоге упираемся в нонсенс 0 = 7. Допуская возможность существования численного результата
7
/
0
, мы рискуем устроить целое светопреставление в мире чисел. Выход один — считать результат выражения неопределимым. Небезопасно пытаться извлечь какой бы тони было смысл из операции деления семи (или любого другого числа, неравного нулю) на нуль, поэтому мы попросту не допускаем этой операции. По сходной причине недопустимо ставить запятую в середине слова, не плодя при этом бессмыслицу.
Индийский математик XII века Бхаскара II, последователь Брахмагупты, считал результатом деления на нуль бесконечность. В этом есть здравое зерно если делить число на другое число, но очень маленькое, в ответе получим очень большое число. Например, 7, деленное на одну десятую, дает нам 70, на одну сотую — 700. Чем меньше знаменатель дроби, тем больше будет результат деления. В предельном случаете. при равенстве знаменателя нулю — ответом будет бесконечность. Однако попытка впихнуть в эту задачу бесконечность не очень плодотворна бесконечность стандартное обозначение — ∞) не подчиняется обычным правилам арифметики и не является числом в обычном смысле слова.
Если 7/0 представляет арифметическую проблему, что женам делать с еще более странным выражением —
0
/
0
? Если
0
/
0
= с, перекрестным умножением мы получим уравнение 0 = 0 × сиз которого следует, что 0 = 0, а это не слишком познавательный результат, хотя и не бессмысленный. Таким образом, приходим к выводу, что
0
/
0
дает в результате что угодно выражаясь вежливым математическим языком, результат такого деления — «неопределенный».
В итоге получаем вывод лучше исключить деление на нуль из наших вычислительных операций. Арифметика прекрасно себя чувствует без такого деления.
Что нам проку от нуля?
Что нам проку от нуля Нам без него — как безрук. От нуля зависит прогресс науки. Мы оперируем понятиями нулевой меридиан, нуль градусов по температурной шкале, нулевая энергия, нулевая гравитация. Нуль вошел ив обиходный язык мы говорим час ноль и нулевая терпимость

ǺȀǸȉ Есть у нуля применения и пограндиознее. Будете на й авеню в Нью-Йорке — зайдите в Эмпайр- стейт-билдинг, ивы окажетесь в величественном фойе на этаже № 1. Все этажи пронумерованы числами — 1 (первый, 2 (второй) итак далее вплоть до 102 (сто второго. В Европе в домах есть нулевой этаж, но его так называют неохотно.
Математики без нуля не смогли бы ничего поделать. Он в самом сердце математических понятий, благодаря которым вообще существуют система счисления, алгебра и геометрия. В линии чисел нуль отделяет положительные числа от отрицательных, и поэтому у него привилегированное положение. В десятичной системе нуль служит символом-заполнителем и позволяет нам оперировать и огромными числами, и ничтожно малыми.
За сотни лет нуль прижился и получил широкое распространение, стал одним из величайших изобретений человечества. Американский математик XIX века Дж. Б. Хэлстед воспел нуль как двигатель прогресса в духе
Шекспирова Сна в летнюю ночь Воздушному ничто — ни места, ни прозванья, — виденью, символу, но дружественной силе — как и самим индусам, что его создали».
Когда нуль только появился, он, должно быть, производил странное впечатление, но математики привыкли вцепляться в диковинные понятия, а это, как показывает время, — полезная привычка. Современный эквивалент понятия нуля можно наблюдать в теории множеств (множество — некоторое собрание отдельных элементов. В рамках этой теории символом ’ обозначают множество, в котором нет никаких элементов его называют пустым множеством. Вот уж странная идея, но, как и нуль, она незаменима ȄDzǰǻ ǵǴ Сумма нуля и положительного числа — положительное число.
Сумма нуля и отрицательного числа — отрицательное число.
Сумма положительного числа и отрицательного числа — разность между ними. Если они равны друг другу, результат — нуль.
Деление нуля на отрицательное или положительное число дает в результате нуль или может быть записано в виде дроби с нулем в числителе и конечным числом в знаменателе,
628 ǰ. Ǻ. В сухом остатке Ничто — это что-то


ǞǟǝǒǘǍ ǏǝǒǙǒǚǕ
8
ǾǵǾǿDzǹȈ Системы

чисел
Система чисел — способ обходиться с концепцией количеств. Разные культуры в разные времена придумали много методов в диапазоне от простого один, два, три, куча до сложных десятичных обозначений, которыми пользуемся мы.
Шумеры и вавилоняне, обитавшие на территории современных Сирии, Иордании и Ирака около 4000 лет назад, применяли в быту позиционную систему счисления. Мы называем ее так, потому что она позволяла определять число по расположению символов. Единицей счисления они полагали 60, и ныне мы называем эту систему шестидесятеричной. Следы шестидесятеричной системы по-прежнему входу секунд в минуте, 60 минут в часе. Измеряя углы, мы все также оперируем полным углом в 360°, несмотря на попытку метрической системы считать его равным 400° (прямой угол при этом оказывается равен Хотя наши далекие предки склонны были подходить к числам сугубо практически, есть и некоторые свидетельства того, что в ранних культурах существовал интерес к математике как таковой и древние люди урывали время от повседневных забот, чтобы повозиться с математическим знанием. Эти первые исследования включают то, что мы ныне зовем алгеброй, а также свойства геометрических фигур.
Египетская система XIII века дон. э. была десятичной и оперировала иероглифическими значками. Любопытно отметить, что египтяне даже развили систему обращения с дробями, но современный позиционный десятичный метод обозначения пришел к нам из Вавилона, а потом его усовершенствовали индийцы. Преимущество этого метода — возможность обозначать как очень маленькие, таки громадные числа. Применение индо-арабских цифр от 1 доделает. Люди палеолита в Европе наносят цифры на кости животных Вавилоняне применяют символьную систему для обозначения чисел

ǾǵǾǿDzǹȈ
ȄǵǾDzǸ счисление достаточно простым. В этом можно наглядно убедиться, сравнив эту систему с римской. Римлян она вполне устраивала, но лишь знатоки могли применять ее для вычислений.
Римская система
Римская система
Основные символы, применявшиеся римлянами, — десятки (I, X, C и M) и их половины (V, L и D). Эти символы ставили один за другим в разных комбинациях, и получались разные числа. Есть предположение, что написание I, II, III и IIII возникло из сходства с нашими четырьмя пальцами,
V — из сходства с кистью руки если приложить одну руку к другой тыльной стороной, получится X, а это как раз десять пальцев. С происходит от centum, а M — от mille, что на латыни означает сто и тысяча соответственно. Римляне применяли для обозначения половины символа система дробных чисел у них была двенадцатеричная.
Числа в римской системе составлялись по принципу перед и после, но единых правил таки не сложилось. Древние римляне писали IIII, а IV придумали позже. Комбинация IX, похоже, применялась, но SIX при этом означала 8 1
/
2
. Справа приведены основные числа римской системы — с некоторыми средневековыми дополнениями:
Читать римские цифры непросто. Например, значение MMMCDXLIIII становится понятно только после мысленной расстановки скобок (MMM)(CD)
(XL)(IIII), и тогда можно прочесть это число как
3000 + 400 + 40 + 4 = 3444. А теперь попробуйте сложить MMMCDXLIIII и CCCXCIIII. Римлянин, обученный премудростям арифметики, владел всякими уловками и хитростями, нонам трудно обрести правильный ответ, не прибегая к переводу этих чисел в десятичную систему и лишь потом переведя ее обратно в римские обозначения:
Сложение
3444 A
MMMCDXLIIII
+ 394 A
CCCXCIIII
= 3838 A
МММDCCCXXXVIII
ǝǵǹǾǷǵDz ȄǵǾǸǭ Римская империя
Средневековые дополнения половина один пять пять тысяч десять десять тысяч пятьдесят пятьдесят тысяч сто
C$
сто тысяч пятьсот
D$
пятьсот тысяч тысяча
M$
миллион
600 1200 В Индии возникает система записи чисел — предтеча современной Распространяется индо-арабская система записи цифр от 1 до 9, с включением нуля
Символы десятичной системы счисления принимают современный вид

10
ǾǵǾǿDzǹȈ А умножение двух чисел — еще сложнее ив некоторых случаях невозможно, если пользоваться исходной системой, даже для самих римлян. Чтобы умножить 3444 на 394, нам потребуются средневековые элементы написания.
Умножение
3444 A
MMMCDXLIIII
× 394 A
CCCXCIIII
= 1 356 936 У римлян нуль никак особо не обозначался. Если бы вы попросили римлянина- вегетарианца запечатлеть, сколько бутылок вина он выпил задень, он мог бы написать «III», но спроси вы, сколько он съел цыплят, «0» он бы вам не изобразил. Остатки римского написания чисел сохранились в номерах страниц некоторых книг (не этой) и на камнях в основании зданий. Некоторые численные конструкции никогда римлянами не употреблялись например, MCM (1900), — а были введены стиля ради в позднейшие времена. Римляне написали бы MDCCCC. Король Франции Людовик XIV предпочитал написание XIIII и ввел правило, по которому на всех часах четыре часа должны были обозначаться символом Десятичные целые числа
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   24

перейти в каталог файлов
связь с админом