Главная страница

Математика. Сборник задач по базовому курсу. ВМК МГУ. Сборник задач по базовому курсу Н. Д. Золотарёва, Ю. А. Попов, Н. Л. Семендяева, мв. Федотов Москва бином. Лаборатория знаний


Скачать 3.86 Mb.
НазваниеСборник задач по базовому курсу Н. Д. Золотарёва, Ю. А. Попов, Н. Л. Семендяева, мв. Федотов Москва бином. Лаборатория знаний
АнкорМатематика. Сборник задач по базовому курсу. ВМК МГУ.pdf
Дата05.04.2017
Размер3.86 Mb.
Формат файлаpdf
Имя файлаMatematika_Sbornik_zadach_po_bazovomu_kursu_VMK_MGU.pdf
оригинальный pdf просмотр
ТипСборник задач
#7807
страница1 из 18
Каталогid47371130

С этим файлом связано 66 файл(ов). Среди них: Lektsia_5_Slyshanie_istiny.docx, ISTORIYa_EGE_2017_dosrochny_period.pdf, 4.pdf, Shkala_perevoda_ballov_po_FIZIKE_-_2017.pdf, 3_Zadachnik.pdf, FIZ2.pdf, Lektsia_4_Istina.docx, OBSchESTVOZNANIE_EGE_2017_dosrochny_period.pdf, 3.pdf, Shkala_perevoda_ballov_po_FIZIKE_-_2017.docx и ещё 56 файл(а).
Показать все связанные файлы
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   18

ЕГЭ
ОЛИМПИАДЫ
ЭКЗАМЕНЫ В ВУЗ
МАТЕМАТИКА
СБОРНИК ЗАДАЧ
по базовому курсу
Н. Д. Золотарёва, Ю. А. Попов, Н. Л. Семендяева, МВ. Федотов
Москва БИНОМ. Лаборатория знаний
2015
МАТЕМАТИКА
СБОРНИК ЗАДАЧ
по базовому курсу
Учебно-методическое пособие
Под редакцией
М. В. Федотова
Н. Д. Золотарёва, Ю. А. Попов, Н. Л. Семендяева, МВ. Федотов
Электронное издание

УДК 373.3:51
ББК 22.1я729
З-80
Золотарёва Н. Д.
З-80
Математика. Сборник задач по базовому курсу Электронный ресурс : учебно-методическое пособие / Н. Д. Зо- лотарёва, Ю. А. Попов, Н. Л. Семендяева, МВ. Федотов под ред. МВ. Федотова. — Эл. изд. — Электрон. текстовые дан. (1 файл pdf : 243 с. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2015. — (ВМК МГУ — школе. — Систем. требования Reader XI ; экран 10".
ISBN Настоящее пособие составлено преподавателями факультета
ВМК МГУ имени МВ. Ломоносова на основе задач вступительных экзаменов по математике в МГУ и задач единого государственного экзамена. Пособие содержит теоретический материал, примеры с решениями и подборку задач.
Рекомендуется школьникам при подготовке к сдаче единого государственного экзамена, абитуриентам при подготовке к поступлению как в МГУ, таки в другие вузы, учителям математики, репетиторам,
руководителям кружков и факультативов, преподавателям подготовительных курсов.
УДК 373.3:51
ББК 22.1я729
Деривативное электронное издание на основе печатного аналога Математика. Сборник задач по базовому курсу : учебно- методическое пособие / Н. Д. Золотарёва, Ю. А. Попов, Н. Л. Семен- дяева, МВ. Федотов ; под ред. МВ. Федотова. — М. : БИНОМ.
Лаборатория знаний, 2015. — 238 сил (ВМК МГУ — школе. —
ISBN В соответствии сост и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных техническими средствами защиты авторских прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации 978-5-9963-2916-8
c
○ Золотарёва Н. Д, Попов Ю. А.,
Семендяева Н. Л, Федотов МВ БИНОМ. Лаборатория знаний, 2015 2

Оглавление
От редактора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Часть I. Алгебра Преобразование алгебраических выражений, простейшие уравнения и неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 Формулы сокращённого умножения, преобразование алгебраических выражений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 Сравнение чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12 Модуль числа и алгебраического выражения, уравнения и неравенства с модулем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13 Квадратный трёхчлен, разложение квадратного трёхчлена на множители, квадратные уравнения и неравенства, теорема
Виета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17 Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства, простейшие системы уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21 Рациональные уравнения и неравенства, метод интервалов . .
21 Простейшие системы уравнений. Подстановка и исключение переменных при решении систем уравнений . . . . . . . . . . .
24 Радикалы. Иррациональные уравнения и неравенства, равносильные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27 Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31 Преобразование тригонометрических выражений, стандартные тригонометрические уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32 Соотношения между тригонометрическими функциями одного итого же аргумента, формулы двойного и половинного аргументов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32 Простейшие тригонометрические уравнения. Разложение на множители, сведение к квадратному уравнению . . . . . . . .
35 Применение тригонометрических формул для сведения уравнений к простейшим . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38 Различные задачи на отбор корней . . . . . . . . . . . . . . . .
42 Стандартные текстовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44 Пропорциональные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44 Арифметическая и геометрическая прогрессии . . . . . . . . .
46 Скорость, движение и время . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49 Работа и производительность . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53 Проценты, формула сложного процента . . . . . . . . . . . . .
54 Стандартные показательные и логарифмические уравнения и неравенства. . . . . . . . . . . . . . .
57 Преобразование логарифмических выражений. Сравнение логарифмических и показательных значений . . . . . . . . . . .
57 Простейшие показательные уравнения и неравенства, равносильные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60 Простейшие логарифмические уравнения и неравенства, равносильные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64

4 Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68 Линейные и однородные тригонометрические уравнения, системы тригонометрических уравнений, использование ограниченности тригонометрических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70 Линейные тригонометрические уравнения, метод вспомогательного аргумента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70 Однородные тригонометрические уравнения второй степени,
замена тригонометрических выражений . . . . . . . . . . . . .
72 Системы тригонометрических уравнений . . . . . . . . . . . .
75 Использование ограниченности тригонометрических функций, оценочные неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80 Изображение множества точек на координатной плоскости, использование графических иллюстраций в уравнениях и неравенствах различных типов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84 Геометрические места точек, графики функций, правила линейных преобразований графиков . . . . . . . . . . . . . . . .
84 Плоские геометрические фигуры, применение метода координат. . . . . . . . . . . . . .
89 Использование графических иллюстраций при решении уравнений и неравенств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91 Элементы математического анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94 Производная, её геометрический и физический смысл. Производные элементарных функций, основные правила дифференцирования функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94 Исследование функций с помощью производной . . . . . . . .
98 Первообразные элементарных функций, основные правила нахождения первообразных. Вычисление площади плоской фигуры с помощью первообразной . . . . . . . . . . . . . . . .
102 Текстовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106 Скорость, движение и время . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106 Арифметическая и геометрическая прогрессии . . . . . . . . .
108 Концентрация, смеси и сплавы, массовые и объёмные доли .
111 Целые числа, перебор вариантов, отбор решений . . . . . . . .
114 10. Раскрытие модулей в уравнениях и неравенствах различных видов .
117 10.1. Различные приёмы раскрытия модулей, системы уравнений и неравенств с модулями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
117 10.2. Раскрытие модулей в тригонометрических уравнениях . . . .
122 10.3. Раскрытие модулей в показательных и логарифмических уравнениях и неравенствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125 11. Разложение на множители и расщепление в уравнениях и неравенствах различных видов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127 11.1. Понятие расщепления, равносильные преобразования . . . . .
127 11.2. Расщепление в тригонометрических уравнениях и неравенствах. . . . . . . . . . . .
130 11.3. Расщепление в показательных и логарифмических уравнениях и неравенствах, модифицированный метод интервалов . .
134 11.4. Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
138
Часть II. Геометрия
141
Планиметрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141 Треугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141 Прямоугольные треугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141 Общие треугольники. Теоремы синусов, косинусов . . . . . . .
145 Медиана, биссектриса, высота . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
150 Подобие треугольников. Теорема Фалеса . . . . . . . . . . . .
153 Площади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
157 Окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
162 Углы в окружностях. Касание окружности и прямой . . . . .
162 Свойства касательных, хорд, секущих . . . . . . . . . . . . . .
166 Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
170 Многоугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
174 Параллелограммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
174 Трапеции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
177 Общие четырехугольники. Правильные многоугольники . . .
181 Координаты и векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
185 Декартовы координаты и векторы на плоскости . . . . . . . Стереометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Введение в стереометрию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
192 Призма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
196 Прямая призма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
196 Наклонная призма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
200 Пирамида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
202 Правильная пирамида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
202 Тетраэдр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
204 Произвольные пирамиды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
206 Тела вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
208 Цилиндр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
208 Конус . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
210 Шар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
213 Координаты и векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
217 Декартовы координаты и векторы в пространстве . . . . . . Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
238
От редактора
Уважаемый читатель, Выдержите в руках одну из книг серии «ВМК МГУ – школе. Учебно-методические пособия, входящие в эту серию, являются результатом более чем десятилетнего труда коллектива авторов, работающих на подготовительных курсах факультета Вычислительной математики и кибернетики (ВМК)
МГУ имени МВ. Ломоносова. Сначала были созданы пособия для очных подготовительных курсов, затем были разработаны электронные версии учебников,
используемые при дистанционном обучении. На основе этого опыта подготовлена серия книг для старшеклассников, одной из которых и является настоящее пособие.
Сейчас изданы или готовятся к изданию пособия по алгебре, геометрии и физике. В дальнейшем предполагается продолжить эту серию силами преподавателей информатики подготовительных курсов факультета ВМК МГУ и выпустить аналогичные пособия по информатике.
По каждому предмету должны выйти два пособия базовый курс и курс, содержащий сложные задачи части Сединого государственного экзамена и нестандартные задачи вступительных экзаменов в вузы (в основном это задачи различных факультетов МГУ имени МВ. Ломоносова. Базовый курс содержит все разделы соответствующего предмета, необходимые для решения задач ЕГЭ частей А, В
и некоторых задач части С, а также первой половины задач вариантов вступительных экзаменов в вузы. Второе пособие содержит задачи, научившись решать которые, Вы сможете решать все задачи ЕГЭ и все или почти все задачи олимпиад и вступительных экзаменов в вузы (за отведённое время можно просто физически не успеть решить все задачи).
Отличительной особенностью наших пособий является спиралевидная схема подачи материала, когда каждая тема повторяется несколько раз, прич м каждый раз на более сложном уровне, чем в предыдущий. Это позволяет не забывать пройденный материал и постепенно подходить к сложным задачам.
Директор учебного центра факультета Вычислительной математики и кибернетики
МГУ имени МВ. Ломоносова доцент кафедры математической физики
М. В. Федотов

7
Предисловие
«Базовый курс рассчитан на закрепление школьного материала по математике и приобретение навыков, необходимых для решения задач ЕГЭ и стандартных задач вступительных экзаменов в вуз.
Предлагаемый курс изначально не предполагает знаний, выходящих за рамки базовой школьной программы. Все примы, необходимые для решения задач,
демонстрируются походу изучения материала.
Задачи в разделах расположены по принципу от простого – к сложному».
Аналогичная ситуация имеет место и с последовательностью разделов, поэтому сами разделы и задачи в разделах рекомендуется изучать в предложенном порядке.
Приступать к решению задач надо после изучения соответствующего теоретического материала и разбора примеров.
При составлении пособия авторы придерживались спиралевидного принципа подачи материала сначала предлагаются простые задачи по всем основным разделам математики и методы их решения, затем рассматриваются более сложные задачи, для решения которых требуются более сложные методы или их комбинации. Это позволяет не только закрепить, но и осмыслить на новом уровне уже пройденный материал. Такая схема обучения с успехом применяется на очных и дистанционных подготовительных курсах факультета ВМК МГУ имени МВ. Ло- моносова.
Каждый раздел пособия содержит теоретические основы, описание методов решения задач, примеры применения методов и набор заданий для решения.
Запись (У) после номера задачи означает, что задача предлагалась на устном экзамене по математике в МГУ.
Для задач письменного экзамена сначала идет сокращенное название факультета, затем – год, в котором была задача (если после года в скобках идет цифра или 2 – это значит, что эта задача была на весенней олимпиаде факультета на мехмате и физфаке весной проходили две олимпиады на ВМК, геологическом, химическом, географическом факультетах и факультете почвоведения – одна олимпиада весной. После точки идет номер задачи в варианте (обычно, чем больше номер, тем сложнее задача в данном варианте. Например, (ВМК-98.3) означает,
что задача была в 1998 году летом на вступительных экзаменах на факультете
ВМК, третьим номером в варианте, а (Мм) означает, что задача была в году на второй весенней олимпиаде механико-математического факультета первым номером в варианте.
Сокращения названий факультетов, принятые в данной книге
М/м – механико-математический факультет,
ВМК – факультет Вычислительной математики и кибернетики (Б – отделение бакалавров по прикладной математике, И – отделение бакалавров по информационным технологиям),
Физ – физический факультет,
Хим – химический факультет,
ВКНМ – Высший колледж наук о материалах,
ФНМ – факультет наук о материалах (до 2000 года – ВКНМ)
Биол – биологический факультет,
Почв – факультет почвоведения
Геол – геологический факультет (.ОГ – отделение общей геологии),
Геогр – географический факультет,
Экон – экономический факультет (М – отделение менеджмента, К – отделение экономической кибернетики, В – вечернее отделение),
ВШБ – Высшая школа бизнеса,
Псих – факультет психологии,
Фил – философский факультет,
Филол – филологический факультет,
Соц – социологический факультет,
ИСАА – Институт стран Азии и Африки,
ФГУ – факультет государственного управления (отделение Антикризисное управление ),ЧФ – Черноморский филиал МГУ (г. Севастополь).
Используемые обозначения – множество, состоящее из одного элемента a;
∪ – объединение ∩ – пересечение ∅ – пустое множество – знак принадлежности ⊂ – знак включения подмножества – для любого A\B – разность множеств A и B ;
=⇒ – следовательно ⇐⇒ – тогда и только тогда – множество всех натуральных чисел N
0
= N ∪ {0};
Z – множество всех целых чисел – множество всех рациональных чисел – множество всех действительных чисел;
ОДЗ – область допустимых значений знак системы, означающий, что должны выполняться все условия, объединённые этим знаком знак совокупности, означающий, что должно выполняться хотя бы одно из условий, объединённых этим знаком.
Рекомендуется школьникам при подготовке к сдаче единого государственного экзамена, абитуриентам при подготовке к поступлению как в МГУ, таки другие вузы, учителям математики, репетиторам, руководителям кружков и факультативов, преподавателям подготовительных курсов.
Желаем удачи
Часть I. Алгебра. Преобразование алгебраических выражений,
простейшие уравнения и неравенства. Формулы сокращённого умножения,
преобразование алгебраических выражений
Теоретический материал
В этом разделе собраны задачи, при решении которых используются различные полезные формулы и преобразования формулы сокращённого умножения, выделение полного квадрата, домножение на сопряжённое выражение.
Необходимо знать и уметь применять следующие формулы b
2
= (a − b)(a + b);
(1)
(a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
;
(2)
(a − b)
2
= a
2
− 2ab + b
2
;
(3)
a
3
+ b
3
= (a + b)(a
2
− ab + b
2
);
(4)
a
3
− b
3
= (a − b)(a
2
+ ab + b
2
);
(5)
(a + b)
3
= a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
;
(6)
(a − b)
3
= a
3
− 3a
2
b + 3ab
2
− b
3
;
(7)
причём все формулы нужно узнавать не только слева направо, но и справа налево».
Применение формул сокращённого умножения является одним из самых простых способов разложения алгебраического выражения на множители. Все формулы справедливы при любых вещественных a и b, которые сами могут являться числами, функциями или другими выражениями.
Помимо основных формул сокращённого умножения полезно знать и формулы для большего числа слагаемых, например + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2bc + В общем случае квадрат суммы нескольких чисел есть сумма квадратов этих чисел плюс сумма всевозможных удвоенных попарных произведений

10
Алгебра
Полезно знать также две следующие формулы, верные ∀n ∈ N :
a n
− b n
= (a − b)(a n−1
+ a n−2
b + a n−3
b
2
+ ... + ab n−2
+ b n−1
);
a
2n+1
+ b
2n+1
= (a + b)(a
2n
− a
2n−1
b + a
2n−2
b
2
− ... − ab
2n−1
+ Примеры решения задач
П р им ер. (Геол) Найти численное значение выражения 16b
2 4b + 3a −
a
2
b
− 3ab
2
ab
2
: 6ab −
8a
3
− b
3 2a − Решение. Согласно формулами+ Последовательно преобразуем исходное выражение − 4b)(3a + 4b)
4b + 3a

ab(a
− 3b)
ab
2
: 6ab −
(2a − b)(4a
2
+ 2ab + b
2
)
2a − b
=
= (3a − 4b − a + 3b)
2
: (6ab − 4a
2
− 2ab − b
2
) = (2a − b)
2
: (4a
2
− 4ab + b
2
) · (−1) = Отметим, что выражение имеет смысл только при 4b + 3a = 0, ab = 0, 2a = Ответ при 4b + 3a = 0, ab = 0, 2a = Пример. (Мм) Выражение − 57 − 40

2 + 57 является целым числом. Найти это целое число.
Р е ш е ни е. Первый способ. Выделим полные квадраты в подкоренных выражениях − 32 + 2 · 4

2 · 5 + 25 =
4

2 − 5 2

4

2 + 5 2
=
= 4

2 − 5 − 4

2 + 5 = 4

2 − 5 − 4

2 − 5 = Замечание. Коэффициенты полных квадратов можно найти методом неопре- делённых коэффициентов (ищем a, b ∈ N ):
57 + 40

2 = a + b

2 2
= a
2
+ 2b
2
+ Получаем систему уравнений a
2
+ 2b
2
= 57,
ab = значит, b ∈ {1; 2; 4; 5}, число a –
нечётное. Подходит пара a = 5, b = 4; следовательно, 57 + 40

2 = 5 + 4

2 Аналогично 57 − 40

2 = 5 − 4

2 2

1.1. Формулы сокращённого умножения...
11
Второй способ. Примем числовое значение выражения за параметр и решим соответствующее уравнение.
Обозначим за A выражение − 57 − 40

2 + 57; тогда A < 0, так как первый радикал меньше второго.
Возведём обе части в квадрат 57 − 40

2 + 57 + 40

2 − 2 57 − 40

2 · 57 + 40

2
⇐⇒
⇐⇒ A
2
= 114 − 2 57 2
− 1600 · 2 ⇐⇒ A
2
= 100
⇐⇒ A = Значит, A = Ответ. Задачи. (ЕГЭ) Найти значение выражения a

a
2
+ ab


a

a + b
:
a a + b при a = 4, b = 5.
2. (ЕГЭ) Найти значение выражения √q

2√p p
− q при p = 8, q = 9.
3. (ЕГЭ) Сократить дробь a
− 81b

a
− 9

b
4. (ЕГЭ) Сократить дробь a + 27b
3

a + 3 3

b
5. (Геол) Найти численное значение выражения + b

b
4√a + 2

b


ab
·
4√a + 2

b
4a − b
2 6. (Почв) Упростить выражение −

b

2a +

b


2a +

b

2a −

b
·
b
4a −
a b
7. (Псих) Вычислить, не используя калькулятор 90
− 0, 125 : 1 1
8
) : 480
(7 : 1, 8 − 2 1
3
: 1, 5) : 2 2
3
−1
:
679 · 10
−2 0, 7
+ 0, 3 .
8. (ЕГЭ) Вычислить + 2

3 − 4 − 2

3.
9. (ЕГЭ) Выражение −

8 −

2 является целым числом. Найти его. (Почв) Доказать, что число −
4

27 2
+ 7 ·
4

3 +
4

27 2
− целое, и найти его
Алгебра. (ЕГЭ) Упростите до целого числа выражение 10 + 6

3 −

3.
12. (МГУ) Выражение 5

2 + 7 −
3 5

2 − 7 является целым числом.
Найти это целое число. (МГУ) Выражение 20 + 14

2+
3 20 − 14

2 является целым числом.
Найти это целое число. (ИСАА-99.2) Упростив выражение =
3ab − b

ab + a

ab
− 3b
2 2
−2
(ab
−1
+ a
−1
b)
− 0, 5
−2ab−6a
1 2
b
3 2
, где a > b > 0 – действительные числа, выяснить, что больше A или 0, 01?
1.2. Сравнение чисел
Теоретический материал
В этом разделе собраны простейшие задачи на сравнение чисел. В большинстве случаев достаточно сгруппировать подходящим образом слагаемые и возвести обе части неравенства в нужную степень. При этом в чётную степень можно возводить только неотрицательные величины.
Примеры решения задач
П р им ер. (У) Доказать, что +

3 Решение. Для того чтобы избавиться от квадратных корней, будем возводить в квадрат. Так как обе части исходного неравенства неотрицательны, то можем возвести их в квадрат + 2

6 < 10
⇐⇒ 2

6 < Возведя обе части последнего неравенства в квадрат, получим очевидное неравенство. Следовательно, исходное неравенство также справедливо.
П р им ер. (У) Выяснить, что больше или
5

5?
Р е ш е ни е. Составим формальное неравенство и будем сводить его к очевидному неравенству с помощью алгебраических преобразований. Для того чтобы избавиться от радикалов, надо возвести обе части неравенства в пятнадцатую степень 15 5

5 15 3
5
∨ 5 3
243 > Поскольку не было преобразований, меняющих знак неравенства, полученный знак соответствует исходному, то есть Ответ. Модуль числа и алгебраического выражения...
13
П р им ер. (Экон-88.1) Какое из двух чисел больше +

2 или Решение. Составим формальное неравенство +

2 и будем работать с ним как с обычным, исключив преобразования, меняющие его знак. Возведём обе части неравенства ∨ 3 −

2 в куб ∨ (3 −

2)
3
= 45 − 29

2 29

2 Теперь возведём обе части неравенства в квадрат и получим 1682 > 1681; так как не было преобразований, меняющих знак неравенства, полученный знак соответствует исходному, то есть +

2 > Ответ. Первое число больше.
Задачи
1. (ВМК-92.1) Какое из двух чисел 1990 1991 или 1991 1992 больше. (Геол) Какое из двух чисел меньше или. (Геол) Какое из следующих чисел больше −
2 sin

2 или. (У) Сравнить числа 3 и 4 300 5. (У) Сравнить числа +

10 и +

19.
6. (ЕГЭ) Сравнить +

2007 и +

2006.
7. (У) Сравнить числа 38 + 17

5 и + 4

5 +
11 1000 8. (У) Выяснить, что больше 33 или 44 33
?
9. (У) Сравнить числа π и. (У) Сравнить числа и 5
1/5 1.3. Модуль числа и алгебраического выражения,
уравнения и неравенства с модулем
Теоретический материал
Определим модуль (абсолютную величину) вещественного числа x следующим образом если x ≥ 0,
−x, если x < 0.
Алгебра Функция y = |x| является чётной и неотрицательной на всей числовой оси.
Геометрическим смыслом модуля числа считается расстояние по числовой оси от начала отсчёта до рассматриваемого числа, причём одному и тому же значению |a| соответствуют две симметричные относительно начала отсчё- та точки a и −a соответственно.
x
0
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   18

перейти в каталог файлов
связь с админом