Главная страница

Сборник задач по стереометрии для подготовки к егэ екатеринбург 2012 1


Скачать 1.05 Mb.
НазваниеСборник задач по стереометрии для подготовки к егэ екатеринбург 2012 1
АнкорС2.pdf
Дата21.04.2017
Размер1.05 Mb.
Формат файлаpdf
Имя файлаS2.pdf
оригинальный pdf просмотр
ТипСборник задач
#17764
страница1 из 4
Каталог0nepeaceonelove

С этим файлом связано 22 файл(ов). Среди них: Задание 5 Лексические нормы.doc, 3.pdf, S4.pdf, Podgotovka_k_sochineniyu_na_EGE_Senina_Narushevi.pdf, КИМ 5. ЕГЭ 2015. Лексические нормы.pptx.pptx, 2.pdf, S3.pdf, G_T_Egoraeva_Rabota_nad_kommentariem_k_sformul.pdf, лексические нормы.ppt.ppt, 1.pdf и ещё 12 файл(а).
Показать все связанные файлы
  1   2   3   4

Захаров В.С.
Сборник задач по стереометрии для подготовки к ЕГЭ
Екатеринбург 2012

1
Захаров В.С. Сборник задач по стереометрии. Екатеринбург. Zaharov.urfu@mail.ru

2
Захаров В.С. Сборник задач по стереометрии. Екатеринбург. Zaharov.urfu@mail.ru
Введение
Данное методическое пособие состоит из 8 уроков, охватывающих все задания по стереометрии, которые встречаются в задании С2.
У данной книги есть преимущества по сравнению с обычным репетитором.
Важным моментом является то, что решения всех задач пособия есть в видео формате. С ними Вы можете ознакомиться на сайте . Кроме того, данная книга всегда у Вас под рукой и вы можете заниматься в любое удобное время. Это приводит к тому, что Вам не надо осваивать материал за жестко отведенный промежуток времени и вы можете вернуться к необходимому материалу неоднократно.
Приятным моментом является то, что Вам совершенно не надо знать метод сечений, чтобы решать задачи. Все задачи решаются с помощью координатно-векторного способа. К каждому типу задач приведен свой алгоритм.
Как работать с пособием? Все очень просто. Все уроки устроены одинаково.
Сначала идет теоретическая справка, состоящая из напоминания основных фактов, теорем и формул, а также алгоритмов решения задач. Прежде всего,
Вы должны хорошо освоить эту часть урока.
Когда Вы заучите вводную часть, переходите к практической части.
Попытайтесь решать задачи самостоятельно и только если Вы попробовали все способы и все равно не смогли ее решить, посмотрите урок с моим решением. Постарайтесь понять весь ход решения и воспроизвести его самостоятельно. Старайтесь оформлять задачи также как и я.
В конце урока дается домашнее задание. Не переходите к следующему уроку пока не решите домашнее задание и не получите за него положительную оценку.
Как выставлять себе оценку? Если задача решена абсолютно верно, что означает верный ответ, верный рисунок и все выкладки, то ставьте себе отметку +. Если есть незначительная ошибка, т.е.
-арифметическая ошибка, повлиявшая на менее, чем треть ответа, или
-пропущено доказательство одного из свойств в геометрической задаче при верном ответе, или

3
Захаров В.С. Сборник задач по стереометрии. Екатеринбург. Zaharov.urfu@mail.ru
-пропущено рассмотрение случая, который мог повлиять на ответ, но не повлиял, то поставьте себе оценку (плюс-минус).
Если ход решения правильный, но из за ошибок по невнимательности получено менее
, но не менее половины правильного ответа, или
- если найдена основная идея, упрощающая геометрическую задачу, или
-не доказано главное свойство, упрощающее задачу, но с его использованием получен правильный ответ,
То поставьте оценку ( )
Оценка за урок и за домашнее задание выставляется стандартным образом.
Это означает, что
-если у Вас 90% чистых плюсов ( в число которых можно включить два плюс –
минуса), Вы ставите себе 5.
-если у Вас 75% чистых плюсов ( в число которых можно включить два плюс- минуса), то оценка 4.
-если у Вас 50% чистых плюсов, то оценка 3.
-все остальное 2.

4
Захаров В.С. Сборник задач по стереометрии. Екатеринбург. Zaharov.urfu@mail.ru
Занятие 1. Расстояние от точки до прямой
Теоретическая справка
Пример. В единичном кубе ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
найдите расстояние от точки A до прямой D
1
M, где M- середина ребра BB
1
Решение.
Блок 1. Основные сведения
Определение. Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.
Алгоритм.
1. Выбрать на данной прямой две точки и соединить их с третьей точкой, от которой нужно найти расстояние.
2. Вычислить длины сторон треугольника.
3. Выяснить каким является данный треугольник (остроугольный, тупоугольный или прямоугольный).
4. Используя теорему косинусов найти высоту.
Примечание. Пусть с-наибольшая сторона треугольника ABC, тогда если a)
, то треугольник прямоугольный b)
, то треугольник прямоугольный с)
, то треугольник остроугольный.
ыапы арырры

5
Захаров В.С. Сборник задач по стереометрии. Екатеринбург. Zaharov.urfu@mail.ru
1. Соединим точку A с точками D
1
и M. Вычислим стороны треугольника
АD
1
M.
2. Найдем AM из треугольника ABM.
=√


3. Найдем AD
1
из треугольника ADD
1


4. Чтобы найти D
1
M, проведем отрезок MM
1
, параллельный BD. Треугольник
D
1
M
1
M- прямоугольный, MM
1
=
√ , D
1
M
1
=
. Тогда D
1
M=
5. Необходимо определить вид треугольника AD
1
M. Так как D
1
M
2
2
+D
1
A
2
, то треугольник остроугольный.
6.




Ответ. AH=1.

6
Захаров В.С. Сборник задач по стереометрии. Екатеринбург. Zaharov.urfu@mail.ru
Задачи
Задача 1.
Треугольник АВС – равнобедренный, АВ=АС=b, ВС= а. Найдите высоту АН.
Задача 2.
Треугольник АВС- равнобедренный, АС = ВС= а, АВ= с. Найдите высоту АН.
Задача 3.
Треугольник АВС –произвольный. АВ= с, АС=b, ВС= а. Найдите АН.
Задача 4.
В единичном кубе ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
найдите расстояние от точки A до прямых: а) B
1
C
1 b) B
1
D
1
c) A
1
C.
Задача 5.
В единичном кубе ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
найдите расстояние от точки D
1
до прямой
PQ , где P и Q – середины ребер A
1
B
1
и ВС.
Задача 6.
В правильной треугольной призме ABCA
1
B
1
C
1
, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до прямых: a) B
1
C
1 b) BC
1
Задача 7.
В правильной треугольной призме ABCA
1
B
1
C
1
высота равна 2, сторона основания равна 1. Найти расстояние от точки В
1
до прямой АС
1
Задача 8.
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
, ребра которой равны 1, найти расстояние от точки A до прямых:
a) BC b) D
1
E
1 c) C
1
D
1
d) B
1
C
1
e) BE
1
f) BC
1
Домашнее задание
Задача 1.
В единичном кубе ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
найдите расстояние от точки A до прямых:

7
Захаров В.С. Сборник задач по стереометрии. Екатеринбург. Zaharov.urfu@mail.ru a) BD b) BD
1
Задача 2.
На ребре AD куба ABCDA
1
B
1
C
1
D
1 взята точка P. Считая ребро куба равным а, найти расстояние от точки А
1
до прямой С
1
P в том случае когда отношение
AP:AD равно 3:4.
Задача 3.
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
, ребра которой равны 1, найти расстояние от точки A до прямых: a) DC b) E
1
F
1
c) BF
1
d) CE
1
Задача 4.
В правильной треугольной призме ABCA
1
B
1
C
1
высота равна 1, сторона основания равна 2. Найти расстояние от точки A до прямой BС
1
Задача 5.
Основание прямой призмы ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
ромб ABCD, в котором AB=10,
AC=6
. Боковое ребро AA
1
равно 3
. Найдите расстояние от вершины В до прямой АС
1
Задача 6.
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 1, а боковое ребро равно . Найдите расстояние от точи С до прямой SA.

8
Захаров В.С. Сборник задач по стереометрии. Екатеринбург. Zaharov.urfu@mail.ru
Занятие 2. Расстояние от точки до прямой
Теоретическая справка
Пример. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA
1
B
1
C
1
D
1.
отношение ребер AA
1
:AB:AD=1:2:3. На ребрах AD и CC
1
взяты соответственно точки P и
Q, такие, что AP:AD=1:3, CQ:CC
1
=1:2. Считая AA
1
=a, найдите расстояние от точки A
1
до прямой PQ.
Решение.
1. Введем прямоугольную систему координат.
2. Найдем координаты точек P, Q и A.
AP:AD=1:3, значит AP=a. Координаты точки P(0;a;0).
Блок 2. Алгоритм координатного метода расчета
1. Ввести прямоугольную систему координат.
2. Выбрать на данной прямой две точки и соединить их с третьей точкой, от которой нужно найти расстояние.
3. Составить координаты вершин получившегося треугольника.
4. Вычислить длины сторон треугольника.
5. Выяснить каким является данный треугольник (остроугольный, тупоугольный или прямоугольный).
6. Используя теорему косинусов найти высоту.

9
Захаров В.С. Сборник задач по стереометрии. Екатеринбург. Zaharov.urfu@mail.ru
CQ:CC
1
=1:2, значит CQ=
. Координаты точки Q(2a;3a;
).
A
1
(0;0;a).
3. Вычислим длины сторон треугольника A
1
PQ, используя формулу
√(
)
(
)
(
)
A
1
P=a

A
1
Q=

PQ=

4. Так как (
√ )
(

)
, то треугольник тупоугольный.
5. Найдем требуемое расстояние из треугольника A
1
PQ.
По теореме косинусов


√ √
Из основного тригонометрического тождества находим синус

√ √
6. Из прямоугольного треугольника A
1
HQ найдем A
1
H
A
1
H=A
1

=

Ответ.


10
Захаров В.С. Сборник задач по стереометрии. Екатеринбург. Zaharov.urfu@mail.ru
Задачи
Задача 1.
Точки P и Q- середины соответственно ребер A
1
B
1
и BC куба ABCDA
1
B
1
C
1
D
1.
Считая ребро куба равным a, найдите расстояние от прямой PQ до точки D
1
Задача 2.
На ребре AD куба ABCDA
1
B
1
C
1
D
1 взята точка P. Считая ребро куба равным а, найдите расстояние от вершины A
1
до прямой С
1
P, если AP:AD=3:4.
Задача 3.
В правильной призме ABCDA
1
B
1
C
1
D
1 на ребре CC
1
взята точка P- середина этого ребра. Считая AB=a, AA
1
=3a, найдите расстояние от точки D
1 до прямой
B
1
P.
Задача 4.
Боковое ребро правильной призмы ABCA
1
B
1
C
1
равно стороне ее основания.
Считая сторону основания равной a, найдите расстояние отточки P, взятой на ребре BB
1
, до прямой АС
1
, если ВР:ВВ
1
=1:4.
Задача 5.
В основании прямой призмы ABCA
1
B
1
C
1 лежит равнобедренный треугольник с прямым углом С, а ее боковое ребро равно меньшей стороне основания. В грани АА
1
СС
1
взята точка О- центроид этой грани. Считая АС= а, найдите расстояние от точки А
1
до прямой ВО.
Задача 6.
В основании пирамиды MABCD лежит квадрат, а ее боковое ребро MB перпендикулярно плоскости основания и равно стороне основания. На ребре
MA взята точка P- середина этого ребра. Считая AB= а, найдите расстояние от
О- центроида основания, до прямой СР.
Задача 7.
В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник с отношением сторон
AB:AD=1:2. Боковое ребро MB перпендикулярно плоскости основания, и

11
Захаров В.С. Сборник задач по стереометрии. Екатеринбург. Zaharov.urfu@mail.ru
MB=AB. На ребрах AM и BC взяты точки P и Q- середины этих ребер. Считая
AB=a, найдите расстояние от прямой PQ до точки M.
Домашнее задание
Задача 1.
Точки P и Q- середины соответственно ребер A
1
B
1
и BC куба ABCDA
1
B
1
C
1
D
1.
Считая ребро куба равным a, найдите расстояние от прямой PQ до точки С
1
Задача 2.
На ребре AD куба ABCDA
1
B
1
C
1
D
1 взята точка P. Считая ребро куба равным а, найдите расстояние от вершины A
1
до прямой С
1
P, если AP:AD=1:4.
Задача 3.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA
1
B
1
C
1
D
1 с отношением ребер
AB:AD:AA
1
=1:2:1 на ребре СС
1
взята точка Р- середина этого ребра. Считая АВ= а, найдите расстояние от точки А
1
до прямой DP.
Задача 4.
На ребрах АD и А
1
В
1
правильной призмы ABCDA
1
B
1
C
1
D
1, у которой AB:AA
1
=1:2, взяты соответственно точки P и M- середины этих ребер, а на ребре CC
1
взята точка Q. Считая АВ= а, найдите расстояние от точки М до прямой PQ, если
CQ:CC
1
=3:4.
Задача 5.
Боковое ребро правильной призмы ABCA
1
B
1
C
1
равно стороне ее основания.
Считая сторону основания равной a, найдите расстояние отточки P, взятой на ребре BB
1
, до прямой АС
1
, если ВР:ВВ
1
=3:4.
Задача 6.
Боковое ребро правильной призмы ABCA
1
B
1
C
1 в два раза больше стороны ее основания. На ребрах ВВ
1 и АС взяты соответственно точки P и Q-середины этих ребер. Считая АВ=а, найдите расстояние от точки С
1
до прямой PQ.
Задача 7.
В основании прямого параллелепипеда ABCDA
1
B
1
C
1
D
1 лежит ромб с углом при вершине А, равным 60 0
. Боковое ребро параллелепипеда равно стороне

12
Захаров В.С. Сборник задач по стереометрии. Екатеринбург. Zaharov.urfu@mail.ru основания. На ребре В
1
С
1
взята точка Р- середина этого ребра. Считая АВ=а, найдите расстояние от точки А
1
до прямой PD.
Задача 8.
В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник с отношением сторон
AB:AD=1:2. Боковое ребро MB перпендикулярно плоскости основания, и
MB=AB. На ребрах AM и BC взяты точки P и Q- середины этих ребер. Считая
AB=a, найдите расстояние от прямой PQ до точки С.
Задача 9.
В основании пирамиды MABCD лежит квадрат, а ее боковое ребро MB перпендикулярно плоскости основания и равно стороне основания. На ребре
MA взята точка P- середина этого ребра. Считая AB= а, найдите расстояние от точки А до прямой СР.

13
Захаров В.С. Сборник задач по стереометрии. Екатеринбург. Zaharov.urfu@mail.ru

14
Захаров В.С. Сборник задач по стереометрии. Екатеринбург. Zaharov.urfu@mail.ru
Занятие 3.
Расстояние от точки до плоскости
Теоретическая справка
Блок 3. Уравнение плоскости
1. Уравнение вида Ax+By+Cz+D=0 называется общим уравнением плоскости. Коэффициенты А, В, С имеют простой геометрический смысл: вектор {A;B;C} перпендикулярен плоскости Ax+By+Cz+D=0. Этот вектор называют вектором нормали или нормалью.
2. Пусть в пространстве задана плоскость Q, точка М(x
0
;y
0
;z
0
) принадлежит данной плоскости и вектор ⃗ {A;B;C} перпендикулярен данной плоскости. Тогда уравнение плоскости имеет вид:
A(x-x
0
)+B(y-y
0
)+C(z-z
0
)=0.
3. Пример. Написать уравнение плоскости, перпендикулярной вектору
{2;5;7} и проходящей через точку М(3;-4:1}.
Решение.
2(x-3)+5(y+4)+7(z-1)=0 2x+5y+7z+7=0.
Блок 4. Основные определения
Определение. Отрезок, для которого указано какой из его концов считать началом, а какой- концом называется вектором.
Если А(
) -координаты начала вектора, В(
)- координаты конца вектора, тогда вектора
⃗⃗⃗⃗⃗ имеет координаты:
*
+

15
Захаров В.С. Сборник задач по стереометрии. Екатеринбург. Zaharov.urfu@mail.ru
Блок 5. Скалярное произведение
Определение. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.
Свойства скалярного произведения:
1. Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.
2. Скалярное произведение векторов
⃗⃗⃗ *
+ и
⃗⃗⃗ *
+ равно
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
3. Косинус угла между ненулевыми векторами
⃗⃗⃗ *
+ и
⃗⃗⃗ *
+ выражается формулой




Блок 6. Расстояние от точки до плоскости
1. Расстояние от точки
(
) до плоскости равно

.
2. Пример. Найти расстояние от точки А(1;-1;2) до плоскости 3x-4y+z-1=0.
Решение.

16
Захаров В.С. Сборник задач по стереометрии. Екатеринбург. Zaharov.urfu@mail.ru
Пример. На ребрах BB
1
, AD и D
1
C
1
куба ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
взяты соответственно точки P, Q и R- середины этих ребер. Считая ребро куба равным 4, найдите расстояние от точки A
1
до плоскости PQR.
Решение.
1. Координаты точек P, Q, R:
( ) ( ) ( )
2. Координаты векторов
⃗⃗⃗⃗⃗ * +
⃗⃗⃗⃗⃗ * +
Блок 7. Алгоритм расчета расстояния от точки до прямой
1. Выбрать два вектора, которые либо лежат в данной плоскости, либо параллельны ей
2. Используя скалярное произведение, найдите уравнение нормали к данной плоскости
3. Составить уравнение плоскости перпендикулярной данному вектору, проходящей через точку, принадлежащую данной плоскости
4. Используя формулу
√ найдите искомое расстояние.

17
Захаров В.С. Сборник задач по стереометрии. Екатеринбург. Zaharov.urfu@mail.ru
3. Найдем координаты вектора нормали ⃗ * +. Так как он перпендикулярен плоскости PQR, то скалярное произведение вектора нормали и векторов
⃗⃗⃗⃗⃗ и
⃗⃗⃗⃗⃗ равно нулю.
{

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗
{
{
Эта система уравнений задает бесконечное множество коллинеарных векторов. Поэтому найдем хотя бы один вектор. Положим С=1. Тогда
{
Тогда B=-1, A=-1.
Получаем вектор нормали ⃗ * +
Таким образом уравнение плоскости имеет вид
4. Найдем коэффициент . Так как точка ( ) принадлежит плоскости
PQR, то при подстановке координат точки ( ) в уравнение плоскости получим верное равенство.
Получаем уравнение плоскости
5. Точка A
1
имеет координаты A
1
(0;0;4), тогда расстояние от точки А
1
до плоскости PQR равно


Ответ.

  1   2   3   4

перейти в каталог файлов
связь с админом