Главная страница

Математика. Сборник задач по углубленному курсу. ВМК МГУ. Сборник задач по углубленному курсу МАТЕМАТИКА сборник задач по углубленному курсу


Скачать 3.17 Mb.
НазваниеСборник задач по углубленному курсу МАТЕМАТИКА сборник задач по углубленному курсу
АнкорМатематика. Сборник задач по углубленному курсу. ВМК МГУ.pdf
Дата05.04.2017
Размер3.17 Mb.
Формат файлаpdf
Имя файлаMatematika_Sbornik_zadach_po_uglublennomu_kursu_VMK_MGU.pdf
оригинальный pdf просмотр
ТипСборник задач
#7815
страница1 из 29
Каталогid47371130

С этим файлом связано 66 файл(ов). Среди них: Lektsia_5_Slyshanie_istiny.docx, ISTORIYa_EGE_2017_dosrochny_period.pdf, 4.pdf, Shkala_perevoda_ballov_po_FIZIKE_-_2017.pdf, 3_Zadachnik.pdf, FIZ2.pdf, Lektsia_4_Istina.docx, OBSchESTVOZNANIE_EGE_2017_dosrochny_period.pdf, 3.pdf, Shkala_perevoda_ballov_po_FIZIKE_-_2017.docx и ещё 56 файл(а).
Показать все связанные файлы
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   29

ЕГЭ
ОЛИМПИАДЫ
ЭКЗАМЕНЫ В ВУЗ
МАТЕМАТИКА
СБОРНИК ЗАДАЧ
по углубленному курсу

МАТЕМАТИКА
СБОРНИК ЗАДАЧ
по углубленному курсу
Учебно-методическое пособие
3-е издание
(электронное)
Под редакцией МВ. Федотова
Москва БИНОМ. Лаборатория знаний

УДК 514
ББК 22.151.0я721.9
М34
М34
Математика. Сборник задач по углублённому курсу Электронный ресурс : учебно-методическое пособие Б. А. Будак и др ; под ред. МВ. Федотова. — е изд.
(эл.). — Электрон. текстовые дан. (1 файл pdf : 329 с. М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2015. — (ВМК МГУ школе. — Систем. требования Adobe Reader XI ; экран 10".
ISBN Настоящее пособие составлено преподавателями факультета
ВМК МГУ имени МВ. Ломоносова на основе задач вступительных экзаменов по математике в МГУ и задач единого государственного экзамена. Пособие содержит теоретический материал и подборку задач.
Рекомендуется школьникам при подготовке к сдаче единого государственного экзамена, абитуриентам при подготовке к поступлению как в МГУ, таки в другие вузы, учителям математики, репетиторам,
руководителям кружков и факультативов, преподавателям подготовительных курсов.
УДК 514
ББК 22.151.0я721.9
Деривативное электронное издание на основе печатного аналога Математика. Сборник задач по углублённому курсу : учеб- но-методическое пособие / Б. А. Будак и др ; под ред. МВ. Федо- това. — е изд, испр. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014. —
324 сил (ВМК МГУ — школе. — ISBN В соответствии сост и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных техническими средствами защиты авторских прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации 978-5-9963-2885-7
c
○ Б. А. Будак, Н. Д. Золотарёва,
Ю. А. Попов, В. В. Сазонов,
Н. Л. Семендяева, МВ. Федотов БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012 2

Оглавление
От редактора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Часть I. Алгебра Элементы теории чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 Целые числа. Делимость и остатки . . . . . . . . . . . . . . . .
9 Уравнения в целых числах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 Смешанные задачи на целые числа . . . . . . . . . . . . . . . .
14 Рациональные и иррациональные числа . . . . . . . . . . . . .
17 Сравнение чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19 19 Тригонометрические неравенства, обратные тригонометрические функции Основные свойства арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Преобразование выражений с обратными тригонометрическими функциями Уравнения и неравенства с обратными тригонометрическими функциями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27 Отбор решений в тригонометрических уравнениях. Тригонометрические неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30 Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33 Полезные преобразования и замены переменных . . . . . . . . . . . .
34 Использование формул сокращённого умножения, выделение полного квадрата . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34 Замены переменных в рациональных уравнениях, неравенствах и системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39 Замены переменных в иррациональных уравнениях, неравенствах и системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42 Замены переменных в показательных и логарифмических уравнениях, неравенствах и системах Замены в тригонометрических уравнениях и тригонометрические замены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50 Нестандартные текстовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53 4.1.
Недоопределённые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53 Неравенства в текстовых задачах . . . . . . . . . . . . . . . . .
56 Оптимальный выбор, наибольшие и наименьшие значения . .
59 Использование свойств квадратного трёхчлена в задачах с параметрами. . . . . . . . . . . . . . . . .
63 Исследование свойств квадратичной функции в зависимости от значений параметра. Теорема Виета
63 Теоремы о расположении корней квадратного трёхчлена на числовой оси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67 Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73 Использование различных свойств функций и применение графических иллюстраций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75 Область определения функции, монотонность, периодичность,
чётность и нечётность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75

4 Множество значений функции, промежутки знакопостоян- ства и монотонности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78 Функциональные уравнения и неравенства . . . . . . . . . . .
83 Использование графических иллюстраций Метод оценок Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства . .
95 Тригонометрические уравнения и неравенства . . . . . . . . .
98 Уравнения и неравенства с логарифмическими и показательными функциями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104 Задачи на доказательство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106 Тригонометрические задачи на доказательство . . . . . . . . .
106 Метод математической индукции . . . . . . . . . . . . . . . . .
109 Доказательство неравенств и тождеств . . . . . . . . . . . . .
111 Использование особенностей условия задачи . . . . . . . . . . . . . .
114 Оптимизация процесса решения, введение функций, искусственное введение параметров, смена ролей параметра и переменной. . . . . . . . . .
114 9.2.
Чётность и симметричность по нескольким переменным, исследование единственности решения, необходимые и достаточные условия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
118 Редукция задачи и переформулирование условия Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Часть II. Геометрия Треугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131 Прямоугольные треугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131 Теоремы синусов и косинусов . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
143 Биссектриса, медиана, высота . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
153 Подобие треугольников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
165 Площадь треугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
177 Окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
188 Углы в окружностях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
188 Касательные, хорды, секущие . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
199 3.
Четырёхугольники и многоугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . .
211 Параллелограммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
211 Трапеции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
219 Общие четырёхугольники и многоугольники . . . . . . . . . .
231 Задачи на доказательство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
245 Треугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
245 Многоугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
250 Окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
253 Площади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
257 Задачи на построение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
259 Алгебраический метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
259 Метод геометрических мест точек . . . . . . . . . . . . . . . .
263 Метод симметрии и спрямления . . . . . . . . . . . . . . . . . .
270 Метод параллельного переноса . . . . . . . . . . . . . . . . . .
274 Метод подобия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
281

5 Метод поворота и смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . .
285 Стереометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
290 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
290 Многогранники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
294 Тела вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
300 Комбинации тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
324
От редактора
Уважаемый читатель Выдержите в руках одну из книг серии «ВМК МГУ – школе. Учебно-методические пособия, входящие в эту серию, являются результатом более чем десятилетнего труда коллектива авторов, работающих на подготовительных курсах факультета вычислительной математики и кибернетики (ВМК)
МГУ имени МВ. Ломоносова. Сначала были созданы пособия для очных подготовительных курсов, затем были разработаны электронные версии учебников,
используемые при дистанционном обучении. На основе этого опыта подготовлена серия книг для старшеклассников, одной из которых и является настоящее пособие.
Сейчас изданы или готовятся к изданию пособия по алгебре, геометрии и физике. В дальнейшем предполагается продолжить эту серию силами преподавателей информатики подготовительных курсов факультета ВМК МГУ и выпустить аналогичные пособия по информатике.
По каждому предмету должны выйти два пособия – базовый курс и курс, содержащий сложные задачи части С единого государственного экзамена и нестандартные задачи вступительных экзаменов в вузы (в основном это задачи различных факультетов МГУ имени МВ. Ломоносова. Базовый курс содержит все разделы соответствующего предмета, необходимые для решения задач ЕГЭ частей А, В
и некоторых задач части С, а также первой половины задач вариантов вступительных экзаменов в вузы. Второе пособие содержит задачи, научившись решать которые, Вы сможете решать все задачи ЕГЭ и все или почти все задачи олимпиад и вступительных экзаменов в вузы (за отведённое время можно просто физически не успеть решить все задачи).
Отличительной особенностью наших пособий является спиралевидная схема подачи материала, когда каждая тема повторяется несколько раз, прич м каждый раз на более сложном уровне, чем в предыдущий. Это позволяет не забывать пройденный материал и постепенно подходить к сложным задачам.
Директор Учебного центра факультета вычислительной математики и кибернетики
МГУ имени МВ. Ломоносова,
доцент кафедры математической физики
М. В. Федотов

7
Предисловие
Предлагаемый «Углублённый курс является естественным продолжением Базового курса по математике и предполагает свободное владение методами и при-
ёмами из Базового курса».
Каждый раздел пособия содержит теоретические основы, описание методов решения задач, примеры применения методов и набор заданий для решения. Задачи в разделах расположены по принципу от простого – к сложному. Аналогичная ситуация имеет место и с последовательностью разделов, поэтому сами разделы и задачи в разделах рекомендуется изучать в предложенном порядке. Приступать к решению задач надо после изучения соответствующего теоретического материала и разбора примеров.
Для задач из материалов ЕГЭ указан соответствующий уровень сложности задачи базового уровня сложности – задачи повышенного уровня сложности – задачи высокого уровня сложности.
Запись (У) после номера задачи означает, что задача предлагалась на устном экзамене по математике в МГУ.
Для задач письменного экзамена сначала идёт сокращённое название факультета, затем – год, в котором была задача (если после года в скобках идёт цифра или 2, это значит, что эта задача была на весенней олимпиаде факультета на мехмате и физфаке весной проходили две олимпиады на ВМК, геологическом, химическом, географическом факультетах и факультете почвоведения – одна олимпиада весной. После точки идёт номер задачи в варианте (обычно, чем больше номер, тем сложнее задача в данном варианте. Например, (ВМК-98.3) означает,
что задача была в 1998 году летом на вступительных экзаменах на факультете
ВМК, третьим номером в варианте, а (Мм) означает, что задача была в году на второй весенней олимпиаде механико-математического факультета первым номером в варианте.
Сокращения названий факультетов, принятые в данной книге
М/м – механико-математический факультет,
ВМК – факультет вычислительной математики и кибернетики (Б – отделение бакалавров по прикладной математике, И – отделение бакалавров по информационным технологиям),
Физ – физический факультет,
Хим – химический факультет,
ВКНМ – Высший колледж наук о материалах,
ФНМ – факультет наук о материалах (до 2000 года – ВКНМ)
Биол – биологический факультет,
Почв – факультет почвоведения,
Геол – геологический факультет (.ОГ – отделение общей геологии),
Геогр – географический факультет,
1
До 2009 года включительно задания части A представляли собой задания базового уровня сложности с выбором одного правильного ответа из четырёх предложенных. Начиная с года, части A и B объединены и представляют собой задания с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби

8
Экон – экономический факультет (М – отделение менеджмента, К – отделение экономической кибернетики, В – вечернее отделение),
ВШБ – Высшая школа бизнеса,
Псих – факультет психологии,
Фил – философский факультет,
Филол – филологический факультет,
Соц – социологический факультет,
ИСАА – Институт стран Азии и Африки,
ФГУ – факультет государственного управления (отделение Антикризисное управление ),ЧФ – Черноморский филиал МГУ (г. Севастополь).
Используемые обозначения – множество, состоящее из одного элемента a;
∪ – объединение ∩ – пересечение ∅ – пустое множество – знак принадлежности ⊂ – знак включения подмножества – для любого A\B – разность множеств A и B ;
=⇒ – следовательно ⇐⇒ – тогда и только тогда – множество всех натуральных чисел N
0
= N ∪ {0};
Z – множество всех целых чисел – множество всех рациональных чисел – множество всех действительных чисел;
ОДЗ – область допустимых значений знак системы, означающий, что должны выполняться все условия, объединённые этим знаком знак совокупности, означающий, что должно выполняться хотя бы одно из условий, объединённых этим знаком.
Необходимо отметить, что в формулировках задач параллельно с математически более корректной терминологией типа длина отрезка AB равна 5» и записью = 5 используется школьная терминология типа отрезок AB равен 5» и запись Рекомендуется школьникам при подготовке к сдаче единого государственного экзамена, абитуриентам при подготовке к поступлению как в МГУ, таки в другие вузы, учителям математики, репетиторам, руководителям кружков и факультативов, преподавателям подготовительных курсов.
Желаем удачи
Часть I. Алгебра. Элементы теории чисел. Целые числа. Делимость и остатки
Теоретический материал
При решении задач на целые числа необходимо знать следующие факты:
• любое натуральное число единственным образом (с точностью до перестановки сомножителей) может быть представлено в виде произведения простых чисел;
• при делении натурального числа p на натуральное число q возможны различных остатков 0, 1, 2, . . . , (q − Полезно также помнить признаки делимости натуральных чисел:
• при делении на 5 и на 10 число даёт такой же остаток, как и последняя его цифра;
• при делении на 4, 25, 50 и на 100 число даёт такой же остаток, как и число,
записанное двумя его последними цифрами;
• при делении на 3 и на 9 число даёт такой же остаток, как и сумма его цифр.
Поэтому, если сумма цифр делится на 3 или на 9, то и само число делится на 3 или на Заметим, что при изучении делимости чисел достаточно работать нес самими числами, ас остатками отделения этих чисел. Все арифметические действия с остатками, кроме деления, повторяют действия с числами, а именно при сложении чисел складываются остатки, при возведении в степень в эту степень возводятся остатки и т.д.
В задачах, где требуется установить, что какое-то выражение, зависящее от натурального числа n, делится или не делится при всех n на заданное натуральное число, часто используется следующий факт произведение k последовательных натуральных чисел делится на Иногда бывает удобно рассматривать отрицательные остатки. Например, в качестве остатка при делении числа 15 на 8 можно использовать 7, а можно (−1).

10
Алгебра
Примеры решения задач
П р им ер. Остатки отделения на 3 чисел m и n равны 1 и 2 соответственно.
Каковы остатки отделения на а) суммы m + б) произведения m · Решение. Так как m = 3k + 1, а n = 3l + 2, то m
+ n = 3k + 3l + 3 = 3 · (k + l + Следовательно, m + n делится на 3 нацело. Рассмотрим теперь произведение mn
= (3k + 1) · (3l + 2) = 9kl + 3l + 6k + 2 = 3(3kl + l + 2l) + то есть при делении на 3 произведения mn остаток равен Ответа, б) Пример. Доказать, что для всех натуральных n выражение (n
3
+ 3n
2
+ делится на Решение. Так как n
3
+ 3n
2
+ 2n = n(n + 1)(n + 2) есть произведение трёх последовательных чисел, которое всегда делится и на 2 и на 3, то n
3
+ 3n
2
+ 2n делится на Пример. Дано число 2 1995
. Найти а) последнюю цифру этого числа,
б) остаток отделения на Решение. а) Представим исходное число в виде 1995
= 2 4·498+3
= 16 498
· Поскольку 16 в любой натуральной степени оканчивается на 6, а 6 · 8 = 48, последняя цифра числа 2 равна б) Рассмотрим остатки степеней двойки отделения на 7:
• 2 при делении на 7 даёт остаток 2,
• 2 при делении на 7 даёт остаток 4,
• 2 при делении на 7 даёт остаток Эти остатки повторяются с периодом T = 3. Так как 1995 = 3 · 665, то 2 при делении на 7 даёт остаток Ответа, б) 1.

1.2. Уравнения в целых числах
11
Задачи
1. Доказать, что число n
5
− n делится на 30.
2. Доказать, что число n
3
− 7n делится на 6.
3. Доказать, что n
2
+ 1 не делится на 3 ни при каких целых n.
4. Сумма m
2
+ делится на 3. Доказать, что она делится на 9.
5. Доказать, что число n(n + 1)(n + 2)(n + 3) делится на 24.
6. Доказать, что n
3
+ 3n
2
− n − 3 делится на 48 при нечётном n.
7. При каких натуральных n число n
4
+ 2n
3
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   29

перейти в каталог файлов
связь с админом