Главная страница

Методическое пособие лаб. раб. Учебное пособие для студентов первого курса медицинских вузов Пермь 2008 2 Авторы-составители


Скачать 1.98 Mb.
НазваниеУчебное пособие для студентов первого курса медицинских вузов Пермь 2008 2 Авторы-составители
АнкорМетодическое пособие лаб. раб.pdf
Дата08.10.2018
Размер1.98 Mb.
Формат файлаpdf
Имя файлаMetodicheskoe_posobie_lab_rab.pdf
оригинальный pdf просмотр
ТипУчебное пособие
#46743
страница3 из 12
Каталогpsmu2016

С этим файлом связано 3 файл(ов). Среди них: ped_tselevoe.pdf, inostrantsy_kontrakt.pdf, Metodicheskoe_posobie_lab_rab.pdf, БИОЛОГИЯ.doc.
Показать все связанные файлы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12

Лабораторная работа №4
ИЗУЧЕНИЕ ОСНОВНЫХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ
ГИДРОДИНАМИКИ И РЕОЛОГИИ
ТЕОРИЯ
Линии и трубки тока. Уравнение неразрывности струи
Гидродинамика – раздел гидроаэромеханики, в котором изучается движение несжимаемых жидкостей и их взаимодействие с твердыми телами. В гидродинамике различают понятия идеальной и реальной жидкостей.
Идеальной называют воображаемую жидкость, лишенную вязкости и теплопроводности.
Для описания движения жидкости используют понятия «линия тока» и «трубка тока». При установившемся течении все частицы жидкости движутся по определенным траекториям с определенными скоростями.
Линия тока – это линия, в каждой точке которой вектор скорости частицы направлен по касательной (рис.1.).
Понятие линии тока позволяет изобразить поток жидкости графически.
Условились проводить линии тока так, чтобы густота их была пропорциональна величине скорости в данном месте. Там, где линии проведены гуще, скорость течения больше, и наоборот (рис.2).
В общем случае величина и направление вектора
V

в каждой точке пространства могут изменяться со временем, поэтому и картина линий тока будет меняться.
Рис.1
Рис.2

32
Возможно течение, при котором любая частица жидкости проходит данную точку пространства с одной и той же скоростью. Течение принимает стационарный характер.
Стационарным называют такое течение, при котором в данной точке вектор скорости
V

не изменяется с течением времени.
Трубка тока – это объем жидкости, ограниченный линиями тока (рис.3).
S
1 и S
2
– два произвольных сечения трубки тока;
1
V

и
2
V

– скорости течения жидкости в этих сечениях.
Рассмотрим сечение S трубки тока, перпендикулярное скорости
V

(рис.4).
За время

t через сечение S пройдут все частицы, расстояние которых от S в начальный момент времени не превышает расстояние l = V


t.
Поэтому за время

t через сечение S пройдет объем жидкости
V = S
t
V
S
l
Δ




, (1) а за единицу времени объем
V
S
t
V



. (1)
1
Теорема о неразрывности струи: при стационарном течении идеальной жидкости произведение площади поперечного сечения S трубки тока на скорость сечения жидкости
V есть величина постоянная для любого сечения трубки тока, т.е.
Для доказательства возьмем трубку тока настолько тонкую, что в каждом сечении скорость можно считать постоянной (рис.5.) Жидкость абсолютно несжимаема, т.е. ее плотность во всем объеме жидкости одинакова и неизменна. Тогда количество жидкости между сечениями S
1
и S
2
будет оставаться постоянным, а это возможно только при условии, что объем жидкости, протекающей
Рис. 4
S·V=const.
Рис. 5

33 через сечение S
1
и S
2
за время
t

одинаков, т.е. V
1
=V
2
или, учитывая (1), можно записать
S
1
V
1
t

= S
2
V
2
t

. (2)
Приведенные рассуждения справедливы для любой пары сечений трубки тока, поэтому величина S

V для любого сечения трубки тока должна быть одна и та же.
Условие неразрывности струи применимо и к реальным жидкостям и газам, если их сжимаемостью можно пренебречь.
На рис.4 буквами р
1
и р
2
обозначены статические давления (давления напора) по обе стороны выделенного объема жидкости V = S

l.
Чтобы скорость течения была направлена, как показано на рисунке, необходимо выполнение условия р
1
>р
2
. Тогда работа А по перемещению выбранного нами объема жидкости будет совершаться за счет разности сил давления F
1
- F
2
= р
1
S - р
2
S :
А=
l
S
р
р
l
S
р
S
р
l
F
F






)
(
)
(
)
(
2 1
2 1
2 1
Учитывая, что
V
l
S


, можно записать
V
р
р
А
)
(
2 1


. (3)
Уравнение Бернулли и примеры его практического использования
Уравнение Бернулли позволяет решить задачу о полном давлении в любом сечении трубки тока и о составляющих этого давления.
Рассмотрим трубку тока, расположенную наклонно в поле тяготения (рис.6).
Выберем два произвольных сечения
1
S
и
2
S
, находящихся на разных высотах по отношению к линии горизонта,
1
р
и
2
р
- статические давления, соответственно, слева от сечения
1
S
и справа от сечения
2
S
. Допустим, что
1
р
>
2
р
. Полная энергия некоторой массы
m
жидкости слагается из кинетической энергии
2 5
,
0
K
mV

и потенциальной энергии
mgh

П
. Поэтому можно записать
mgh
mV
W




2
П
K
2
Изменение полной энергии
W

при перемещении массы
m
жидкости из сечения
1
S
в сечение
2
S
определится выражением
Рис.6

34




1 2
W
W
W







2 2
2 2
mgh
mV
-
2 1
2 1







mgh
mV
(4)
В нашем случае полная энергия увеличивается, т.к. увеличивается и потенциальная энергия (жидкость поднимается до
2
h
), и кинетическая (жидкость втекает в сужение, и ее скорость возрастает от V
1 до V
2
).
Перемещение жидкости осуществляется вследствие разности давлений
2 1
р
р
р



. Работа по перемещению жидкости определяется соотношением (3).
На основании закона сохранения энергии можно утверждать, что увеличение полной энергии
W

равно работе
A
, совершенной за счет разности сил давления, поэтому можно записать


V
р
р
mgh
mV
mgh
mV
2 1
1 2
1 2
2 2
2 2





, (5) или после деления (5) на объем
V
получим
2 1
1 2
1 2
2 2
2 2
р
р
gh
V
gh
V









, где
V
m


- плотность жидкости.
Сгруппируем члены с одинаковыми индексами по обе стороны равенства, получим
1 1
2 1
2 2
2 2
2 2
р
gh
V
р
gh
V









. (6)
Так как сечения
2 1
S
и
S
выбраны нами произвольно, равенство (6) можно записать для любых сечений трубки тока
n
S
S
S
,
,
4 3
и т.д. Поэтому (6) можно представить в виде const
2 2





р
gh
V
Полученное уравнение носит название уравнения Бернулли.
Уравнение выведено в 1738 году Даниилом Бернулли (1700-1782), швейцарским математиком, членом Петербургской Академии наук.
Первое слагаемое
2 2
V

называют гидродинамическим давлением, оно возникает вследствие движения жидкости со скоростью V

; слагаемое
gh

- давление,

35 обусловленное положением частиц жидкости в гравитационном поле Земли; слагаемое
р – статическое давление (напор). Сумма
р
gh


получила название гидростатического давления.
Уравнение Бернулли можно сформулировать следующим образом:
в стационарно текущей идеальной жидкости сумма гидростатического и
гидродинамического давлений для любого сечения трубки тока есть величина
постоянная .
Сумму гидростатического и гидродинамического давлений называют полным
давлением. Таким образом, полное давление во всех сечениях трубки тока является одинаковым.
Рассмотрим некоторые следствия, вытекающие из уравнения Бернулли, и примеры практического использования этого уравнения.
а) Пусть жидкость течет так, что во всех точках скорость течения имеет одинаковую величину (
const
;
const


S
V
).
Тогда уравнение (6) принимает вид
1 1
2
р
gh
р
gh





, или


,
1 2
2 1
h
h
g
р
р




(8) т.е. распределение давления в этом случае будет таким же, как и в покоящейся жидкости.
б) Для горизонтальной трубки тока


2 1
h
h

уравнение (6) принимает вид
1 2
1 2
2 2
2 2
р
V
р
V





, (9) или const
2 2



р
V
(10)
Из условия (10) следует, что статическое давление р больше там, где меньше динамическое
2 5
,
0
V

, и наоборот. Таким образом, статическое давление всегда меньше в узких частях трубки (
p


S

V
1
).

36
Если давление в широкой части трубки атмосферное, то в узкой части, где большая скорость, оно меньше атмосферного. Струя тогда будет оказывать засасывающее действие. На засасывающем действии суженной струи основана работа целого ряда физических и технических приборов – водоструйных насосов, ртутных насосов, инжекторов, пульверизаторов, ингаляторов, карбюраторов и т.д.
Важное практическое применение уравнения Бернулли нашло в приборах для изменения давления и для определения скорости потока.
Поместим в стационарный поток жидкости изогнутую под прямым углом манометрическую трубку
1 с отверстием, обращенным навстречу потоку (рис.7 ).
Такую трубку называют трубкой
Пито.
Рассмотрим линию тока АВ, проходящую через центр сечения трубки Пито и «упирающуюся» в точку В.
Линию тока можно рассматривать как трубку тока с пренебрежимо малым сечением. Строго говоря, уравнение Бернулли будет справедливо для любой линии тока. Для линии АВ запишем его в виде






A
A
B
B
р
V
р
V
2 2
2 2
(11)
Скорость
A
V в точке A равна скорости стационарного потока жидкости V, а скорость
B
V в точке В равна нулю, поэтому уравнение Бернулли для линии АВ принимает вид




р
V
р
B
2 2
(12)
Следовательно, давление в точке В равно сумме динамического
2 2
V

и статического р давлений в потоке жидкости и жидкость в трубке Пито поднимается до высоты
1
h
, соответствующей сумме динамического и статического давлений. Таким образом, высота
1
h
определяет полное давление в потоке.
Если в поток поместить трубку 2, сечение которой параллельно линиям тока
(такую трубку называют зондом) (рис.7), то жидкость в ней поднимается на высоту
2
h
,
Рис.7

37 соответствующую статическому давлению в потоке. По разности
2 1
h
h
h



можно определить величину динамического давления.
Прибор, сочетающий в себе трубку Пито и зонд (рис.8), получил название дифференциального манометра, или трубки Прандтля. Такой манометр позволяет определить статическое, динамическое и полное давления.
Аналогичные приборы используются для определения скорости потока жидкости (или газа).
Вязкость жидкости. Формула Ньютона.
Коэффициент вязкости
Вязкость – одно из важнейших явлений, наблюдающихся при движении реальной жидкости.
Всем реальным жидкостям (и газам) в той или иной степени присуща вязкость, или внутреннее трение. При течении реальной жидкости между ее слоями возникают силы трения.
Эти силы получили название сил внутреннего трения или вязкости. Вязкость – это трение между перемещаемыми относительно друг друга слоями жидкости (или газа).
Силы вязкости
(внутреннего трения) направлены по касательной к соприкасающимся слоям жидкости и противодействуют перемещению этих слоев относительно друг друга. Они тормозят слой с большей скоростью и ускоряют медленный слой. Можно указать две основные причины, обусловливающие вязкость: во-первых, силы взаимодействия между молекулами соприкасающихся слоев, движущихся с различными скоростями; во-вторых, переход молекул из слоя в слой и связанный с этим перенос импульса.
Вследствие этих причин слои взаимодействуют друг с другом, медленный слой ускоряется, быстрый замедляется. В жидкостях ярче выражена первая причина, в газах – вторая.
Для выяснения закономерностей, которым подчиняются силы внутреннего трения, рассмотрим следующий опыт. Возьмем две горизонтальные пластины со слоем жидкости между ними (рис.9).
Верхнюю пластину приведем в движение с
Рис.8
Рис. 9

38 постоянной скоростью V

. Для этого к пластине надо приложить силу
F
для преодоления силы трения тр
F , действующей на пластину при ее движении в жидкости. Слой жидкости, прилегающий непосредственно к верхней пластине, благодаря смачиванию прилипает к пластине и движется вместе с ней. Слой жидкости, прилипший к нижней пластине, удерживается вместе с ней в покое,
0

V
. Промежуточные слои движутся так, что каждый верхний из них обладает скоростью большей, чем под ним лежащий. Стрелками на рис.9 показан «профиль скорости» потока. Вдоль оси r, перпендикулярной вектору V

, скорость нарастает. Измерение скорости характеризуют величиной
dr
dV
Величина
dr
dV
показывает, какое измерение скорости приходится на единицу длины вдоль направления изменения скорости, т.е.
dr
dV
определяет быстроту изменения скорости и направления, перпендикулярной самой скорости. От этой величины зависит трение между слоями. Величина
dr
dV
измеряется в
1
c

Ньютон установил, что сила трения между двумя слоями жидкости прямо пропорциональна площади соприкосновения слоев
S
и величине
dr
dV
:



S
F
тр
dr
dV
. (13)
Формула (13) называется формулой Ньютона для вязкого трения. Коэффициент пропорциональности

получил название коэффициента вязкости (внутреннего трения). Из (13) видно, что
dr
dV
S
F



тр
В системе СИ единицей измерения коэффициента вязкости является с
Па

(паскаль – секунда), в СГС – системе коэффициент вязкости измеряется в П (пуазах), причем
П
10
с
Па
1



39
Жидкости, для которых выполняется формула Ньютона (13), называют
ньютоновскими. Для таких жидкостей коэффициент вязкости зависит только от температуры. Из биологических к ньютоновским жидкостям можно отнести плазму крови, лимфу. Для многих реальных жидкостей соотношение (13) строго не выполняется. Такие жидкости называют неньютоновскими. Для них коэффициент вязкости

зависит от температуры, давления и ряда других величин. К таким жидкостям относятся жидкости с крупными сложными молекулами, например, цельная кровь.
Вязкость крови здорового человека с
Па
10
)
5 4
(
3




, при патологии колеблется от с
Па
10
)
9
,
22
до
7
,
1
(
3



, что сказывается на скорости оседания эритроцитов. Вязкость венозной крови больше, чем артериальной.
Течение вязкой жидкости по цилиндрическим трубам.
Формула Пуазейля. Ламинарное и турбулентное течение жидкости.
Понятие о числе Рейнольдса
Жидкость, протекающую по цилиндрической трубе радиуса R, можно представить разделенной на концентрические слои (рис.10).
В каждом таком слое скорость течения постоянна, но от слоя к слою изменяется. Слой, прилипший к стенкам трубы, имеет скорость, равную нулю, V
min
=0. Слой, текущий вдоль оси трубы, имеет максимальную скорость V
max
. Профиль скорости в этом случае является
Рис.10

40 параболой (рис.10, а). Вдоль радиуса трубы (ось r) скорость изменяется, и это изменение характеризуется величиной
dr
dV
Задача о течении вязкой жидкости по цилиндрическим трубам имеет исключительно важное значение для физиологии, так как кровеносная система является системой из многократно разветвляющихся цилиндрических сосудов различных диаметров.
Важнейшую закономерность течения вязкой жидкости по цилиндрическим трубам представляет формула Пуазейля, позволяющая рассчитать объем жидкости, протекающий через поперечное сечение трубы за одну секунду:
t
V
Q


, где
V
- объем жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы
S
за время
t

. Используя формулу (1), можно записать ср
V
S
Q


, где


max min max ср
5
,
0 5
,
0
V
V
V
V



- средняя скорость течения жидкости в трубе.
Тогда, учитывая, что S=
,
2
R


запишем Q=
max
2 5
,
0 V
R



Для вычисления max
V
выделим в объеме текущей жидкости малый цилиндр произвольного радиуса r длиной l (рис.11). Обозначим давление в жидкости слева от выбранного цилиндра через Р
1
, а справа - через Р
2
. На малый цилиндр в потоке действуют две силы:
F

1, обусловленная разностью давлений
1
Р
Р


- Р
2
, сообщающая цилиндру ускорение, и сила
2
F

- сила трения (вязкости), которую испытывает этот цилиндр, перемещаясь в потоке жидкости.
Для силы F
1
запишем
F
1
=




,
2 2
1 1
2 1
r
Р
Р
S
Р
Р







где S
1
=
2
r


- площадь поперечного сечения малого цилиндра.
Рис.11

41
Используя формулу Ньютона, для силы F
2
получим:
F
2
=
dr
dV
l
r
dr
dV
S









2 2
, где S
2
= 2
-
l
r



боковая поверхность малого цилиндра ( поверхность соприкосновения этого цилиндра с остальным объемом жидкости ).
Чтобы цилиндр двигался с постоянной скоростью, надо чтобы силы
1
F

и
2
F

уравновешивали друг друга, т.е. должно выполняться условие
0 2
1


F
F


. (15)
Условие (15) через модули сил запишем в виде F
1
=-F
2
или, подставив значение сил, получим
(Р
1
-Р
2
)
2
r



= -
dr
dV
l
r





2
. (16)
Произведем сокращения и выразим из этого уравнения
dV
:


dr
l
r
Р
Р
dV





2 2
1
Проинтегрируем полученное уравнение, подставив предел интегрирования:










V
r
R
r
l
r
Р
Р
dV
0 2
1
d
2
, или


2 2
2 2
1 2
1 4
Δ
2 2
2
-
r
R
l
Р
r
l
Р
Р
rdr
l
Р
Р
V
R
r
r
R














(17)
На осевой линии трубы r=0, а скорость max
V
V

, тогда (17) можно переписать в виде
2
max
4
Δ
R
l
Р
V



. (18)
Формула (18) была получена французским физиком и физиологом Пуазейлем в
1841 году. Из (18) видно, что максимальная скорость течения жидкости по трубе прямо пропорциональна перепаду давления
,
Р

квадрату радиуса трубы R и обратно пропорциональна коэффициенту вязкости

жидкости и длине цилиндра l.Подставляя (18) в (14),получим Q=
2 2
8
R
l
Р
R





, или в окончательном виде
(19)
Q=
l
Р
R



8
Δ
4

42
Полученное выражение носит название формулы Гагена - Пуазейля, или формулы
Пуазейля.
Таким образом, объем жидкости Q, ежесекундно протекающей через поперечное сечение трубы, прямо пропорционален четвертой степени радиуса трубы R (QR
4
), разности давлений


Р
Q


и обратно пропорционален коэффициенту вязкости и длине трубы
l
Q


1

Часто проводят аналогию между формулой Пуазейля и законом Ома для однородного участка цепи
R
Ι


Δ
(сила тока Ι прямо пропорциональна разности потенциалов


на участке цепи и обратно пропорциональна сопротивлению R этого участка.) Формулу (19) представим в виде
Q =
С
Р

Величину С =
4 8
R
l




называют гидравлическим сопротивлением. Оно тем больше, чем больше вязкость жидкости

и длина трубы l, и зависит обратно пропорционально от четвёртой степени радиуса трубы R.
Таким образом, объём жидкости, ежесекундно протекающей через поперечное сечение трубы, прямо пропорционален разности давлений
Р

и обратно пропорционален гидравлическому сопротивлению С.
Аналогия между сопротивлением в электрической цепи и гидравлическим сопротивлением позволяет использовать правила для расчета сопротивления при последовательном и параллельном соединении труб с различными сопротивлениями.
Общее гидравлическое сопротивление труб, соединённых последовательно, рассчитывается по формуле
С=С
1

2

3
+…, а соединённых параллельно - по формуле
1 1
1 1
3 2
1




С
С
С
С
Формула Пуазейля справедлива не для любого течения вязкой жидкости, а только для ламинарного течения.

43
В гидродинамике различают два вида течения жидкости – ламинарное и турбулентное.
Ламинарным называют слоистое течение, при котором слои не перемешиваются друг с другом. Для цилиндрического профиля трубы профиль скорости такого течения дан на рис.10,а.
Турбулентным
называют течение, при котором происходит интенсивное перемешивание слоёв, образуются завихрения жидкости.
Турбулентность увеличивает гидравлическое сопротивление. Профиль скорости такого движения в цилиндрической трубе показан на рис.12 .Вблизи стенок трубы наблюдается большой перепад скорости, скорость быстро нарастает от 0 до V – некоторого среднего значения скорости частиц, что позволяет считать такое течение в среднем однородным.
Характер течения жидкости (ламинарное или турбулентное) определяется целым рядом факторов: вязкостью жидкости, сечением трубы, скоростью течения и плотностью жидкости.
Как уже рассматривалось выше, на любой малый объём жидкости в потоке действуют ускоряющая сила
1
F

и сила вязкого трения
2
F

. Характер течения будет определяться отношением
2 1
F
F
. Чем больше это отношение, тем больше вероятность возникновения вихрей, а следовательно, и турбулентного течения. Английский физик и инженер Рейнольдс рассчитал безразмерное отношение F
1
/F
2
. Это отношение получило название числа Рейнольдса Re. Очевидно, число Re есть величина безразмерная:
Re
=




V
l
, (20) где


плотность жидкости, l –характерный линейный размер сечения трубы (диаметр или радиус для цилиндрического сечения трубы, высота – для треугольного, сторона – для квадратного), -
V скорость потока,


коэффициент вязкости.
Рис.12

44
Так как число Рейнольдса зависит от двух характеристик жидкости – вязкости

и плотности

, то целесообразно ввести в это число величину
,




называемую
кинематической вязкостью. Тогда (20) принимает вид



V
l
e
R
)
0 2
(

Переход от ламинарного течения к турбулентному определяется критическим числом Рейнольдса.
При числах Re

к
Re течение носит ламинарный характер, при Re > к
Re течение становится турбулентным. Критические значения числа Рейнольдса определяются только экспериментально. Для гладких цилиндрических труб к
Re

1000, если за
l
принять радиус трубы. Число Рейнольдса играет большую роль во многих количественных исследованиях течения жидкости и газа. Оно является критерием подобия при создании моделей гидро- и аэродинамических систем и, в частности, кровеносной системы. Важно, чтобы модель имела то же число Рейнольдса, что и сама система. Это достигается соответствующим подбором скорости, вязкости и линейного размера сечения модели. Из (20) видно, что увеличение размеров сечения можно скомпенсировать уменьшением скорости течения V или подбором жидкости с соответствующими значениями вязкости

и плотности

Течение крови в сосудах носит в норме ламинарный характер, небольшая турбулентность наблюдается вблизи клапанов сердца. При патологии число Re может превысить критическое значение и течение станет турбулентным, что можно обнаружить по характерным шумам и использовать в диагностике заболеваний.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12

перейти в каталог файлов
связь с админом