Главная страница
qrcode

#11 алгебра логики. Лекция Основные понятия алгебры логики


Скачать 301.21 Kb.
НазваниеЛекция Основные понятия алгебры логики
Дата14.06.2020
Размер301.21 Kb.
Формат файлаpdf
Имя файла#11 алгебра логики.pdf
оригинальный pdf просмотр
ТипЛекция
#69999
Каталог

Лекция
Основные понятия алгебры логики
Формы мышления. Логическое высказывание. Высказательная форма. Элементарные высказывания. Логические связки. Составные высказывания. Основные операции алгебры логики. логики.
Форма мышления. Предметом исследования науки логики является человеческое мышление. Мышление всегда осуществляется в каких-то формах. В логике выделяют следующие формы мышления:



Понятие - форма мышления, в которой отражаются отличительные существенные признаки предметов.
Существенными называются такие признаки, каждый из которых, взятый отдельно, необходим, а все вместе достаточны, чтобы с их: помощью отличить (выделить) данный предмет (явление) от всех остальных и сделать обобщение, объединив однородные предметы в множество.
Например, признаками понятия апельсин являются: круглый, оранжевый, упругий,
сладкий, ароматный. Можно ли по этим признакам отличить апельсин от неапельсина?
По ним легко отличить апельсин от яблока, но нельзя отличить апельсин от мандарина: большой мандарин можно спутать с маленьким апельсином. Поэтому для точной идентификации апельсина необходимо ввести дополнительные признаки.
Понятие имеет две основные логические характеристики: содержание и объем.
Содержание понятия - совокупность существенных признаков, отраженных в этом понятии.
Например, содержанием понятия ромб является совокупность двух существенных признаков: быть параллелограммом и иметь равные
стороны.
Содержание понятия ученик включает в себя признаки: познавать новое и иметь учителя. Содержание понятия хороший
ученик включает в себя признаки: познавать
новое, иметь
учителя, иметь интерес к учебе, быть исполнительным, быть обязательным, быть
воспитанным, помогать отстающим. Любой ли отличник может в соответствии с этими признаками называться хорошим учеником? Заметим, что даже если ученик плохо учится, но проявляет интерес к учебе, всегда выполняет домашние задания, воспитан и помогает по мере сил тем, кто слабее его, то его можно отнести по данной совокупности признаков к хорошим ученикам.
Всех тех учеников, которые обладают выделенными признаками, можно объединить в множество. Объем понятия - множество предметов, каждому из которых принадлежат признаки, составляющие содержание понятия.
Например, объем понятия река - это множество, состоящее из рек, носящих имена Обь,
Иртыш, Енисей, Волга и др. Объем понятия ученик включает в себя всех людей, которые
когда-либо учились (в частности, "чему-нибудь и как-нибудь"), учатся сейчас или будут учиться когда-нибудь.
Суждение (высказывание, утверждение) форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах, их свойствах или отношениях между ними.
Языковым выражением суждений является повествовательное предложение. Суждения бывают простыми и сложными.
Например, Наступила весна простое суждение, а Наступила весна, и прилетели грачи ложное, состоящее из двух простых.
Всякое суждение может быть либо истинным, либо ложным по своему содержанию.
Содержание суждения то что, о чем в нем идет речь, его смысл. Одно и то же суждение разными людьми может восприниматься как истинное или ложное в зависимости от их взглядов, жизненного опыта, особенностей национальной культуры, воспитания, образования и т. д.
Например, для кого-то истинным является, что свободу, безопасность и комфорт дают глубокие знания, а для кого-то свободу, безопасность и комфорт дают большие деньги.
Для того чтобы вести рассуждения и оценивать их правильность, необходимо прежде договориться по каждому суждению, будем ли мы его рассматривать как истинное или ложное в данном конкретном случае. Например, суждение Он хороший шахматист может быть как истинным, так и ложным, в зависимости оттого, кто имеется в виду под местоимением >он Заметим, что оговоритьсяы можем только по отношению к простым суждениям. Значение же истинности сложных суждений вычисляется. При вычислении истинности (ложности) сложного суждения содержание входящих в него простых суждений является незначимым. Интерес представляет то, чем суждения отличаются друг от друга, что характеризует каждое из них и неизменно для каждого из них, а именно их форма.
Логическая форма суждения то его строение, способ связи его составных частей.
Форма суждения, в отличие от его содержания, объективна, т. е. не зависит от тех или иных взглядов того или иного человека.
Умозаключение форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений, называемых посылками, мы по определенным правилам вывода получаем суждение-заключение (вывод умозаключение).
В русском языке слово умозаключение используется в двух значениях: для обозначения процесса рассуждения, размышления, приводящего к некоторому выводу, и для обозначения результата этого процесса.
Еще в древности было известно рассуждение, ставшее классическим образцом верного логического умозаключения:
Все люди смертны. Сократ человек. Сократ смертен.
Заметим, что посылками умозаключения по правилам логики могут быть только истинные суждения. Всякое умозаключение, так же как и суждение, имеет свою форму.
Эта форма может быть логически правильной или логически неправильной. Так, в примере с Сократом форма умозаключения логически верная: Все S есть Р. Некоторые А
есть S. Некоторые А есть Р.
Правильно ли рассуждает человек, когда он говорит:
Если что-то есть металл, то оно проводит электрический ток, Алюминий проводит
ток.
Если S есть Р1, то S есть Р2.
А есть Р2.
Алюминий - металл.
А есть Р1.
Из истинных посылок получилось истинное заключение. Можно предположить, что, рассуждая по данной форме, мы получим из истинных посылок истинное заключение во всех случаях. Проверим это:
Если что-то есть металл, то оно проводит электрический ток, Вода проводит ток.
Если S есть Р1, то 5 есть Р2.
А есть Р2.
Вода - металл.
А есть P1
Из истинных посылок получилось ложное заключение. Наше предположение о том, что, рассуждая по данной форме, мы всегда из истинных посылок получим истинное
заключение, ошибочно. Следовательно, те, кто рассуждает по данной форме, либо ошибаются сами, либо вводят слушателей в заблуждение. Таким образом, услышав какую-нибудь фразу (рассуждение, умозаключение), вы можете, определив форму этого рассуждения и зная, правильна ли она логически, заранее сказать, будет ли истинным заключение.
Рассмотрим, например, следующую фразу:
Если у человека повышена температура, то он болен; этот человек болен;
следовательно,
у
него
должна
быть
повышенная
температура.
Это пример рассуждения, построенного по той же неверной схеме (форме):
Если есть первое, то есть второе; второе есть; следовательно, есть первое.
Итак, с точки зрения содержания суждений в процессе мышления формируется истинное или ложное отражение мира, а если рассматривать мышление со стороны формы, то имеет значение только его логическая правильность или неправильность.
Алгебра
логики
это
раздел
математики,
изучающий
высказывания,
рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и
логических операций над ними.
Алгебра логики возникла в середине ХIХ века в трудах английского математика Джорджа Буля. Ее создание представляло собой попытку решать традиционные логические задачи алгебраическими методами.
Что же такое логическое высказывание?
Логическое высказывание — это любoе повествовательное пpедлoжение, в oтнoшении
кoтopoгo мoжно oднoзначнo сказать, истиннo oнo или лoжнo.
Джордж Буль
Так, например, предложение "6 — четное число" следует считать высказыванием, так как оно истинное. Предложение "Рим — столица Франции" тоже высказывание, так как оно ложное.
Разумеется, не всякое предложение является логическим высказыванием.
Высказываниями не являются, например, предложения "ученик десятого класса" и "информатика — интересный предмет". Первое предложение ничего не утверждает об ученике, а второе использует слишком неопределѐнное понятие "интересный предмет".
Вопросительные и восклицательные предложения также не являются высказываниями, поскольку говорить об их истинности или ложности не имеет смысла.
Предложения типа "в городе A более миллиона жителей", "у него голубые глаза" не являются высказываниями, так как для выяснения их истинности или ложности нужны дополнительные сведения: о каком конкретно городе или человеке идет речь. Такие предложения называются высказывательными формами.
Высказывательная форма — это повествовательное предложение, которое прямо или
косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда
все переменные замещаются своими значениями.
Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения — является ли оно истинным или ложным. Заметим, что зачастую трудно установить
истинность высказывания. Так, например, высказывание "площадь поверхности
Индийского океана равна 75 млн кв. км" в одной ситуации можно посчитать ложным, а в другой — истинным. Ложным — так как указанное значение неточное и вообще не является постоянным. Истинным — если рассматривать его как некоторое приближение, приемлемое на практике.
Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания "не", "и", "или",
"если... , то", "тогда и только тогда" и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются
логическими связками.
Bысказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются
составными.
Высказывания, не являющиеся составными, называются
элементарными.
Так, например, из элементарных высказываний "Петров — врач", "Петров —
шахматист" при помощи связки "и" можно получить составное высказывание "Петров —
врач и шахматист", понимаемое как "Петров — врач, хорошо играющий в шахматы".
При помощи связки "или" из этих же высказываний можно получить составное высказывание "Петров — врач или шахматист", понимаемое в алгебре логики как "Петров или врач, или шахматист, или и врач и шахматист одновременно".
Истинность или ложность получаемых таким образом составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний.
Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают имена. Пусть через А обозначено высказывание "Тимур поедет летом на море", а через В — высказывание "Тимур летом отправится в горы". Тогда составное высказывание "Тимур
летом побывает и на море, и в горах" можно кратко записать как А и В. Здесь "и"
— логическая связка, А, В — логические переменные, которые мoгут принимать только два значения — "истина" или "ложь", обозначаемые, соответственно, "1" и "0".
Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение:
НЕ
Операция, выражаемая словом "не", называется
отрицанием
и обозначается чертой над высказыванием (или знаком ). Высказывание истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно. Пример. "Луна — спутник Земли" (А); "Луна — не спутник
Земли" (
).
И
Операция, выражаемая связкой "и", называется
конъюнкцией
(лат. conjunctio — соединение) или логическим умножением и обозначается точкой "
.
" (может также обозначаться знаками или &). Высказывание А
.
В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны. Например, высказывание "10 делится на 2 и 5 больше
3" истинно, а высказывания "10 делится на 2 и 5 не больше 3", "10 не делится на 2 и
5 больше 3", "10 не делится на 2 и 5 не больше 3" — ложны.
ИЛИ
Операция, выражаемая связкой "или" (в неисключающем смысле этого слова), называется
дизъюнкцией
(лат. disjunctio — разделение) или логическим сложением и обозначается знаком v (или плюсом). Высказывание А v В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны. Например, высказывание "10 не делится на 2 или
5 не больше 3" ложно, а высказывания "10 делится на 2 или 5 больше 3", "10 делится
на 2 или 5 не больше 3", "10 не делится на 2 или 5 больше 3" — истинны.
ЕСЛИ-ТО
Операция, выражаемая связками "если ..., то", "из ... следует", "...
влечет ...", называется
импликацией
(лат. implico — тесно связаны) и обозначается знаком
. Высказывание ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.
Каким
же
образом
импликация
связывает
два
элементарных
высказывания? Покажем это на примере высказываний: "данный четырѐхугольник —
квадрат" (А) и"около данного четырѐхугольника можно описать окружность" (В).
Рассмотрим составное высказывание
, понимаемое как "если
данный
четырѐхугольник квадрат, то около него можно описать окружность". Есть три
варианта, когда высказывание истинно:
1.
А истинно и В истинно, то есть данный четырѐхугольник квадрат, и около него можно описать окружность;
2.
А ложно и В истинно, то есть данный четырѐхугольник не является квадратом, но около него можно описать окружность (разумеется, это справедливо не для всякого четырѐхугольника);
3.
A ложно и B ложно, то есть данный четырѐхугольник не является квадратом, и около него нельзя описать окружность.
Ложен только один вариант, когда А истинно, а В ложно, то есть данный четырѐхугольник является квадратом, но около него нельзя описать окружность.
В обычной речи связка "если ..., то" описывает причинно-следственную связь между высказываниями. Но в логических операциях смысл высказываний не учитывается.
Рассматривается только их истинность или ложность. Поэтому не надо смущаться "бессмысленностью" импликаций, образованных высказываниями, совершенно не связанными по содержанию. Например, такими: "если президент США — демократ, то
в Африке водятся жирафы", "если арбуз — ягода, то в бензоколонке есть бензин".
РАВНОСИЛЬНО
Операция, выражаемая связками "тогда и только тогда",
"необходимо и достаточно", "... равносильно ...", называется
эквиваленцией
или двойной импликацией и обозначается знаком или

. Высказывание истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают. Например, высказывания "24
делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3", "23 делится на 6 тогда и
только тогда, когда 23 делится на 3" истинны, а высказывания "24 делится на 6
тогда и только тогда, когда 24 делится на 5", "21 делится на 6 тогда и только тогда,
когда 21 делится на 3" ложны.
Высказывания А и В, образующие составное высказывание
, могут быть совершенно не связаны по содержанию, например: "три больше двух" (А), "пингвины
живут в Антарктиде" (В). Отрицаниями этих высказываний являются высказывания
"три не больше двух" (
), "пингвины не живут в Антарктиде" (
). Образованные из высказываний А и В составные высказывания A
B и истинны, а высказывания
A
и
B — ложны.
Итак, нами рассмотрены пять логических операций: отрицание, конъюнкция,
дизъюнкция, импликация и эквиваленция.
Импликацию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание:
А
В =
v В.
Эквиваленцию можно выразить через отрицание, дизъюнкцию иконъюнкцию:
А
В = (
v В)
.
(
v А).
Таким образом, операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции достаточно,
чтобы описывать и обрабатывать логические высказывания.
Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Но для уменьшения числа скобок договорились считать, что сначала выполняется операция отрицания ("не"), затем конъюнкция ("и"), после конъюнкции — дизъюнкция ("или") и в последнюю очередь — импликация.

перейти в каталог файлов


связь с админом