Главная страница
qrcode

Признаки равенства треугольников


Скачать 161.87 Kb.
НазваниеПризнаки равенства треугольников
Анкор3. Признаки равенства треугольников — необходимые знания по планиметрии.pdf
Дата10.06.2018
Размер161.87 Kb.
Формат файлаpdf
Имя файла3_Priznaki_ravenstva_treugolnikov__neobkhodimye_znania_po_planim
оригинальный pdf просмотр
ТипДокументы
#41529
Каталог

И. В. Яковлев
|
Материалы по математике
|
MathUs.ru
Признаки равенства треугольников
На рис.
1
мы видим треугольник ABC.
A
B
C
Рис. 1. Треугольник ABC
Точки A, B, C называются вершинами треугольника. Отрезки AB, BC, AC называются сторонами треугольника. Углы CAB, ABC и BCA так и называются — углами треугольника
1
и обозначаются соответственно
∠A, ∠B и ∠C. Сам треугольник обозначается так: ∆ABC.
Сторона AB является противолежащей для вершины (и угла) C. Углы
∠A и ∠B называ- ются прилежащими к стороне AB.
Два треугольника называются равными, если у них равны стороны и углы. Попросту говоря,
равные треугольники являются точными копиями друг друга (только расположены могут быть по-разному). Равные треугольники можно наложить друг на друга так, что они полностью совпадут.
Равенство треугольников ABC и DEF записывается обычным образом: ∆ABC = ∆DEF .
Во многих ситуациях бывает полезно установить равенство двух треугольников (например,
чтобы доказать равенство каких-либо отрезков или углов). Оказывается, для этого нет необхо- димости проверять равенство всех сторон и углов или же пытаться накладывать треугольники друг на друга. Достаточно убедиться, что три определённых элемента данных треугольников соответственно равны — тем самым и будет обеспечено равенство самих треугольников.
Этими избранными тройками элементов являются: 1) две стороны и угол между ними;
2) сторона и два прилежащих к ней угла; 3) три стороны. Соответственно, имеем три признака равенства треугольников.
Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника,
то такие треугольники равны.
Данная ситуация проиллюстрирована на рис.
2
A
B
C
F
D
E
Рис. 2. ∆ABC = ∆DEF по двум сторонам и углу между ними
1
Угол треугольника называется также внутренним углом, а смежный с ним угол называется внешним углом.
1

Мы видим, что AC = DF , BC = EF и
∠C = ∠F . Мысленно переместим треугольник
DEF так, чтобы точка F совпала с точкой C и сторона F D наложилась на сторону CA. Тогда сторона F E автоматически совместится со стороной CB, и треугольники полностью совпадут
2
Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Данная ситуация проиллюстрирована на рис.
3
A
B
C
F
D
E
Рис. 3. ∆ABC = ∆DEF по стороне и прилежащим к ней углам
Здесь AB = DE,
∠A = ∠D и ∠B = ∠E. Переместим треугольник DEF так, чтобы точ- ка D совпала с точкой A и сторона DE наложилась на сторону AB. Легко видеть, что тогда остальные пары сторон автоматически совместятся, то есть треугольники полностью совпадут.
Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Данная ситуация проиллюстрирована на рис.
4
A
B
C
F
D
E
Рис. 4. ∆ABC = ∆DEF по трём сторонам
Ясно, что при совмещении точек D и A, E и B произойдёт также совмещение точек F и C,
то есть треугольники полностью совпадут.
Если в равных треугольниках ABC и DEF вершины поставлены так, что
∠A = ∠D,
∠B = ∠E и ∠C = ∠F (а именно так и было на предыдущих рисунках), то вершины A и D,
B и E, C и F называются соответствующими. Равные треугольники совпадают, если их на- кладывать друг на друга соответствующими вершинами.
Записывая равенство треугольников, порой стремятся соблюдать порядок перчисления со- ответствущих вершин (то есть чтобы из равенства ∆ABC = ∆DEF непременно следовали равенства
∠A = ∠D, ∠B = ∠E и ∠C = ∠F ). Мы в дальнейшем не всегда придерживаемся этого соглашения и не заботимся о порядке следования вершин (понятно ведь, что треугольник
ABC и треугольник CBA — это один и тот же треугольник). Если порядок всё же соблюден и нам важно указать на это, мы будем писать, что вершины согласованы.
2
Данное рассуждение не является доказательством первого признака, но лишь проясняет его идею. То же относится к аналогичным рассуждениям после формулировок второго и третьего признаков. Строгие доказа- тельства изложены в школьных учебниках.
2

Вообще, два элемента равных треугольников называются соответствующими, если они сов- падают при совмещении данных треугольников. Так, можно говорить о соответствующих сторо- нах или углах равных треугольников, а также о соответствии других элементов. К расмотрению некоторых элементов треугольника мы сейчас и переходим.
Медиана, биссектриса, высота треугольника
Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой проти- волежащей стороны.
Задача. Докажите, что в равных треугольниках соответствующие медианы равны.
Решение. Пусть треугольник ABC равен треугольнику DEF (вершины согласованы, рис.
5
).
A
B
C
M
D
E
F
N
Рис. 5. К задаче
Проведём медианы CM и F N (эти медианы как раз и будут соответствующими, так как они проведены из соответствующих вершин). Покажем, что CM = F N .
Рассмотрим треугольники ACM и DF N . Имеем:
1. AC = DF как соответствующие стороны равных треугольников ABC и DEF ;
2. AM = DN как половины соответствующих (и потому равных) сторон AB и DE равных треугольников ABC и DEF ;
3.
∠A = ∠D как соответствующие углы равных треугольников ABC и DEF .
Следовательно, треугольники ACM и DF N равны по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними). Стороны CM и F N этих треугольников являются соответствующими, так как они лежат напротив соответствующих вершин. Значит, CM = F N , что и требовалось.
Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.
На рис.
6
изображена биссектриса CL треугольника ABC.
A
B
C
L
Рис. 6. Биссектриса треугольника
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на пря- мую, содержащую противолежащую сторону.
3

В отличие от медианы и биссектрисы (которые всегда расположены внутри треугольни- ка), высота может идти как внутри, так и вне треугольника; она может также совпасть с его стороной (рис.
7
).
A
B
C
H
A
B
C
H
A
B
C
Рис. 7. Высота треугольника
Мы видим, что если углы A и B острые, то высота CH расположена внутри треугольника
ABC; если угол B тупой, то высота CH проходит вне треугольника; если же угол B прямой,
то высота, опущенная из вершины C, совпадает со стороной CB.
Равнобедренный треугольник
Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Эти две равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием треугольника.
Если все стороны треугольника равны, то такой треугольник называется равносторонним
(или правильным).
На рис.
8
изображён равнобедренный треугольник ABC с основанием AB и боковыми сто- ронами AC и BC.
A
B
C
Рис. 8. Равнобедренный треугольник
Справедливы два важных утверждения, которые неоднократно применяются при решении задач. Эти утверждения являются обратными друг к другу.
A
B
C
Рис. 9.
Свойство равнобедренного треугольника. В равнобед- ренном треугольнике углы при основании равны.
Признак равнобедренного треугольника. Если два уг- ла треугольника равны, то треугольник является равнобед- ренным (при этом равные стороны лежат напротив равных углов).
Обе ситуации одновременно показаны на рис.
9
. Свой- ство равнобедренного треугольника утверждает, что если
AC = BC, то ∠A = ∠B.
Признак равнобедренного треугольника, наоборот, поз- воляет «опознать» равнобедренный треугольник по равным углам. Согласно данному признаку из равенства
∠A = ∠B следует, что треугольник равнобед- ренный: AC = BC.
4

Прямоугольный треугольник
Треугольник называется прямоугольным, если в нём имеется прямой угол. Стороны, образую- щие прямой угол, называются катетами; сторона, лежащая напротив прямого угла, называ- ется гипотенузой (рис.
10
).
A
C
B
катет к
атет гипотенуза
Рис. 10. Прямоугольный треугольник
За счёт наличия прямого угла равенство прямоугольных треугольников можно опознать по совпадению двух определённых элементов. Имеют место следующие признаки равенства прямоугольных треугольников.
1. (По двум катетам). Если два катета одного прямоугольного треугольника равны соот- ветственно двум катетам другого треугольника, то такие треугольники равны.
2. (По катету и прилежащему острому углу). Если катет и прилежащий острый угол од- ного прямоугольного треугольника равны соответственно катету и прилежащему острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
3. (По катету и противолежащему углу). Если катет и противолежащий угол одного пря- моугольного треугольника равны соответственно катету и противолежащему углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
4. (По гипотенузе и острому углу). Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны соответственно гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
5. (По гипотенузе и катету). Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны соответственно гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны.
Полезное упражнение — доказать эти признаки, то есть вывести их из общих признаков равенства треугольников. Вы это сделаете в задачах к данному листку.
5

перейти в каталог файлов


связь с админом