Главная страница
qrcode

Введение в теорию чисел Борис Трушин


Скачать 182.58 Kb.
НазваниеВведение в теорию чисел Борис Трушин
Анкор11 EGE C 1-4.pdf
Дата22.11.2018
Размер182.58 Kb.
Формат файлаpdf
Имя файла11_EGE_C_1-4.pdf
оригинальный pdf просмотр
ТипДокументы
#48660
Каталог

Введение в теорию чисел
Борис Трушин
2018/19. Занятие #01
Борис Трушин (Фоксфорд)
Теория чисел
2018/19. Занятие #01 1 / 28

Сколько существует целых чисел от 1 до 2018, которые а) не делятся на 3;
б) не делятся ни на 3, ни на 5;

в) не делятся ни на 3, ни на 5, ни на 7?
Борис Трушин (Фоксфорд)
Теория чисел
2018/19. Занятие #01 2 / 28


Сколько двоек будет в разложении на простые множители числа 2018! ?
Борис Трушин (Фоксфорд)
Теория чисел
2018/19. Занятие #01 3 / 28

Определите, на какую наибольшую натуральную степень двойки делится число
4036!
2018!
Борис Трушин (Фоксфорд)
Теория чисел
2018/19. Занятие #01 4 / 28

Докажите, что числа 27n + 4 и 18n + 3 взаимно просты при любом натуральном n.
Борис Трушин (Фоксфорд)
Теория чисел
2018/19. Занятие #01 5 / 28


Сколько существует пар натуральных чисел, у которых наименьшее общее кратное равно 2000?
Борис Трушин (Фоксфорд)
Теория чисел
2018/19. Занятие #01 6 / 28

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −8.

а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Борис Трушин (Фоксфорд)
Теория чисел
2018/19. Занятие #01 7 / 28

Перед каждым из чисел 14, 15, . . . , 20 и 4, 5, . . . , 8 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего от каждого из образовавшихся чисел первого набора отнимают каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 35 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?
Борис Трушин (Фоксфорд)
Теория чисел
2018/19. Занятие #01 8 / 28

Задачи на делимость
Борис Трушин
2018/19. Занятие #02
Борис Трушин (Фоксфорд)
Задачи на делимость
2018/19. Занятие #02 9 / 28

Докажите, что степень двойки не может оканчиваться четырьмя одинаковыми цифрами.
Борис Трушин (Фоксфорд)
Задачи на делимость
2018/19. Занятие #02 10 / 28


Может ли сумма цифр точного квадрата равняться 2015?
Борис Трушин (Фоксфорд)
Задачи на делимость
2018/19. Занятие #02 11 / 28

На доске написано 100 различных натуральных чисел с суммой 5100.

а) Может ли быть записано число 250?
б) Можно ли обойтись без числа 11?

в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 11, может быть на доске?
(ЕГЭ-2017)
Борис Трушин (Фоксфорд)
Задачи на делимость
2018/19. Занятие #02 12 / 28

На доске написано 30 натуральных чисел. Какие-то из них красные,
а какие-то зелёные. Красные числа кратны 7, а зелёные числа кратны 5. Все красные числа отличаются друг от друга, как и все зелёные. Но между красными и зелёными могут быть одинаковые.

а) Может ли сумма зелёных чисел быть меньше 2325?
б) Может ли сумма чисел быть 1467, если только одно число красное?
в) Найдите наименьшее количество красных чисел, которое может быть при сумме 1467.
(ЕГЭ-2017)
Борис Трушин (Фоксфорд)
Задачи на делимость
2018/19. Занятие #02 13 / 28

На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое из которых либо четное, либо его десятичная запись заканчивается на цифру 7. Сумма написанных чисел равна 810.

а) Может ли быть 24 четных числа?
б) Может ли быть на доске ровно два числа, оканчивающихся на 7?

в) Какое наименьшее количество чисел с последней цифрой 7 может быть на доске?
(ЕГЭ-2017)
Борис Трушин (Фоксфорд)
Задачи на делимость
2018/19. Занятие #02 14 / 28

На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 3, или на цифру 7. Сумма написанных чисел равна 2502.

а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 3 или на 7?
б) Могут ли ровно два числа на доске оканчиваться на 3?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 3,

может быть на доске?
(ЕГЭ-2017)
Борис Трушин (Фоксфорд)
Задачи на делимость
2018/19. Занятие #02 15 / 28

С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа 1923 получается число 110911253).
а) Приведите пример числа, из которого получается 2108124117.

б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 37494128?
в) Какое наибольшее число, кратное 11, может получиться из трехзначного числа?
(ЕГЭ-2017, основная волна, резервный день)
Борис Трушин (Фоксфорд)
Задачи на делимость
2018/19. Занятие #02 16 / 28

Прогрессии
Борис Трушин
2018/19. Занятие #03
Борис Трушин (Фоксфорд)
Прогрессии
2018/19. Занятие #03 17 / 28

С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа 1923 получается число 110911253).
а) Приведите пример числа, из которого получается 2108124117.

б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 37494128?
в) Какое наибольшее число, кратное 11, может получиться из трехзначного числа?

в’) Какое наибольшее число, кратное 9, может получиться из трехзначного числа, в десятичной записи которого нет девяток?
(ЕГЭ-2017, основная волна, резервный день)
Борис Трушин (Фоксфорд)
Прогрессии
2018/19. Занятие #03 18 / 28

С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа 1923 получается число 110911253).
а) Приведите пример числа, из которого получается 2108124117.

б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 37494128?
в) Какое наибольшее число, кратное 11, может получиться из трехзначного числа?

в’) Какое наибольшее число, кратное 9, может получиться из трехзначного числа, в десятичной записи которого нет девяток?
(ЕГЭ-2017, основная волна, резервный день)
Борис Трушин (Фоксфорд)
Прогрессии
2018/19. Занятие #03 18 / 28

Маша и Наташа одновременно решили начать делать фотографии.
Каждый день каждая девочка делает на одну фотографию больше,
чем в предыдущий день. В итоге оказалось, что Наташа сделала на
1001 фотографию больше, чем Маша.

а) Могло ли это произойти за 7 дней?
б) Могло ли это произойти за 8 дней?
в) Какое максимальное количество фотографий могла сделать
Наташа, если Маша в последний день сделала меньше 40

фотографий?
(ЕГЭ-2017)
Борис Трушин (Фоксфорд)
Прогрессии
2018/19. Занятие #03 19 / 28

Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел.
Эти числа и все их возможные суммы (по два, по три и т. д.)
выписывают на доску. Если какое-то число n, выписанное на доску,
повторяется несколько раз, то на доске оставляют только одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 10, 11.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8, 10.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18,

19, 20, 22?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34,
41.
(ЕГЭ-2017)
Борис Трушин (Фоксфорд)
Прогрессии
2018/19. Занятие #03 20 / 28

Последовательность a
1
, a
2
, . . . , a
6
состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть M
k
— среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме k-го. Известно, что M
1
= 1,
M
2
= 2.
а) Приведите пример такой последовательности, для которой
M
3
= 1, 6.
б) Существует ли такая последовательность, для которой M
3
= 3?
в) Найдите наибольшее возможное значение M
3
(ЕГЭ-2016)
Борис Трушин (Фоксфорд)
Прогрессии
2018/19. Занятие #03 21 / 28

Целое число S является суммой не менее трех последовательных членов арифметической прогрессии, состоящей из различных целых чисел.

а) Может ли S равняться 8?
б) Может ли S равняться 1?
в) Найдите все значения, которые может принимать S
(ЕГЭ-2014)
Борис Трушин (Фоксфорд)
Прогрессии
2018/19. Занятие #03 22 / 28

Даны n > 2 различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 10?

б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 1000?
в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 129.
(ЕГЭ-2013)
Борис Трушин (Фоксфорд)
Прогрессии
2018/19. Занятие #03 23 / 28

Задание 19
Борис Трушин
2018/19. Занятие #04
Борис Трушин (Фоксфорд)
Задание 19 2018/19. Занятие #04 24 / 28

ЕГЭ-2018. Основная волна, резервный день а) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 123456789 так,

чтобы получилось число, кратное 72?
б) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 846927531 так,

чтобы получилось число, кратное 72?
в) Какое наибольшее количество цифр можно вычеркнуть из числа

124875963 так, чтобы получилось число, кратное 72?
Борис Трушин (Фоксфорд)
Задание 19 2018/19. Занятие #04 25 / 28

ЕГЭ-2018. Основная волна, резервный день
За прохождение каждого уровня игры на планшете можно получить от одной до трёх звёзд. При этом заряд аккумулятора планшета уменьшается на 3 пункта при получении трёх звёзд, на 6 пунктов при получении двух звёзд и на 9 пунктов при получении одной звезды.
Витя прошёл несколько уровней игры подряд.

а) Мог ли заряд аккумулятора уменьшиться ровно на 32 пункта?
б) Сколько уровней игры было пройдено, если заряд аккумулятора уменьшился на 33 пункта и суммарно было получено 17 звёзд?
в) За пройденный уровень начисляется 9000 очков при получении трёх звёзд, 5000 – при получении двух звёзд и 2000 – при получении одной звезды. Какое наибольшее количество очков мог получить

Витя, если заряд аккумулятора уменьшился на 33 пункта и суммарно было получено 17 звёзд?
Борис Трушин (Фоксфорд)
Задание 19 2018/19. Занятие #04 26 / 28

ЕГЭ-2018. Основная волна
В школах #1 и #2 учащиеся писали тест. В каждой школе тест писали по крайней мере два учащихся, а суммарно тест писали 37
учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого, один из учащихся, писавших тест,
перешел из школы #1 в школу #2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе #1 вырасти в два раза?
б) Средний балл в школе #1 вырос на 5%, средний балл в школе #2
также вырос на 5%. Мог ли первоначальный балл в школе #2

равняться 1?
в) Средний балл в школе #1 вырос на 5%, средний балл в школе #2
также вырос на 5%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе #2.
Борис Трушин (Фоксфорд)
Задание 19 2018/19. Занятие #04 27 / 28

ЕГЭ-2018. Основная волна а) Представьте число
33 100
в виде суммы нескольких дробей, все числители которых равны единице, а знаменатели – попарно различные натуральные числа.
б) Представьте число
15 91
в виде суммы нескольких дробей, все числители которых равны единице, а знаменатели – попарно различные натуральные числа.
в) Найдите все возможные пары натуральных чисел m и n, для которых m n и
1
m
+
1
n
=
1 14
Борис Трушин (Фоксфорд)
Задание 19 2018/19. Занятие #04 28 / 28

перейти в каталог файлов


связь с админом