Главная страница
qrcode

Задача Найдите расстояние между скрещивающимися рёбрами правильного тетраэдра, дли- на ребра которого равна 1


Скачать 163.43 Kb.
НазваниеЗадача Найдите расстояние между скрещивающимися рёбрами правильного тетраэдра, дли- на ребра которого равна 1
АнкорRasstoyanie mezhdu skreschivayuschimisya pryamy.
Дата19.07.2017
Размер163.43 Kb.
Формат файлаpdf
Имя файлаRasstoyanie_mezhdu_skreschivayuschimisya_pryamy.pdf
оригинальный pdf просмотр
ТипЗадача
#26807
Каталог

И. В. Яковлев
|
Материалы по математике
|
MathUs.ru
Расстояние между скрещивающимися прямыми
Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина общего перпендикуляра, прове- дённого к этим прямым.
На рис.
1
мы видим скрещивающиеся прямые a и b. Для наглядности проведены параллель- ные плоскости π и σ, в которых лежат эти прямые. Расстояние d между прямыми a и b есть длина их общего перпендикуляра M N .
π
a
σ
b d
M
N
Рис. 1. Расстояние между скрещивающимися прямыми
Заметим, что величина d есть также расстояние от любой точки прямой a до плоскости σ
(и вообще от любой точки плоскости π до плоскости σ). Поэтому если в конкретной задаче общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым не просматривается, то можно искать расстояние от какой-либо удобной точки первой прямой до плоскости, проходящей через вторую прямую параллельно первой прямой — это и будет расстояние между двумя данными прямыми.
Примеры решения задач
Рассмотрим три задачи. Первые две сравнительно простые, а третья соответствует уровню задачи С2 на ЕГЭ по математике.
Задача 1. Найдите расстояние между скрещивающимися рёбрами правильного тетраэдра, дли- на ребра которого равна 1.
Решение. Пусть ABCD — правильный тетраэдр с ребром 1. Найдём расстояние между прямыми
AD и BC. Пусть M — середина AD, N — середина BC (рис.
2
).
A
B
C
D
M
N
1
Рис. 2. К задаче 1 1

Покажем, что M N является общим перпендикуляром к прямым AD и BC. В самом деле,
BM = M C; медиана M N равнобедренного треугольника BM C будет также его высотой, так что M N ⊥ BC. Точно так же медиана N M равнобедренного треугольника AN D будет его высотой, поэтому M N ⊥ AD.
Итак, требуется найти M N . Имеем: BM =

3/2, BN = 1/2, и тогда по теореме Пифагора:
M N =

BM
2
− BN
2
=

2 2
Ответ:

2 2
Задача 2. В кубе ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
найдите расстояние между прямыми AB
1
и BC
1
. Длина ребра куба равна 3.
Решение. Строить общий перпендикуляр к этим двум прямым — не самая лучшая идея. Мы будем действовать иначе. Проведём AD
1
и заметим, что BC
1
AD
1
, и потому прямая BC
1
параллельна плоскости AB
1
D
1
(рис.
3
).
A
B
C
D
A
1
B
1
C
1
D
1
H
3
Рис. 3. К задаче 2
Следовательно, расстояние между прямыми BC
1
и AB
1
равно расстоянию от любой точки прямой BC
1
до плоскости AB
1
D
1
. Удобно взять, например, точку B.
Расстояние от точки B до плоскости AB
1
D
1
равно расстоянию от точки A
1
до данной плос- кости (поскольку отрезок A
1
B делится этой плоскостью пополам). А расстояние от A
1
до плос- кости AB
1
D
1
есть высота A
1
H треугольной пирамиды AB
1
D
1
A
1
Основанием данной пирамиды служит равносторонний треугольник AB
1
D
1
со стороной
3

2. Боковые рёбра пирамиды равны 3. Стало быть, пирамида является правильной, и точка
H — центр треугольника AB
1
D
1
Длина отрезка AH равна радиусу окружности, описанной вокруг треугольника AB
1
D
1
:
AH =
3

2

3
=

6.
Тогда по теореме Пифагора получаем:
A
1
H =
AA
2 1
− AH
2
=

3.
Это и есть искомое расстояние между прямыми AB
1
и BC
1
Ответ:

3.
2

Задача 3. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD (с вершиной S) длина каждого ребра равна 4. Точка K — середина ребра SA. Найдите расстояние между прямыми AD и BK.
Решение. На рис.
4
изображено сечение пирамиды плоскостью KBC; это сечение является равнобедренной трапецией BKLC.
A
B
C
D
S
K
L
M
N
4 4
H
ϕ
Рис. 4. К задаче 3
Поскольку AD
BC, прямая AD параллельна плоскости KBC. Следовательно, искомое расстояние d между прямыми AD и BK равно расстоянию от любой точки прямой AD до плоскости KBC.
Через точку K проведём плоскость KN M , перпендикулярную прямой AD (и, стало быть,
прямой BC). Эта плоскость пересекает прямые AD и BC в точках N и M соответственно.
Ищем величину d как расстояние от точки N до плоскости KBC.
Отрезок KM является высотой трапеции BKLC. Проведём перпендикуляр N H на прямую
KM . Вдобавок имеем N H ⊥ BC, поэтому N H — перпендикуляр к плоскости KBC.
Найдём длины сторон треугольника KN M . Очевидно, N M = 4. Далее, из треугольника
AKN получаем:
KN = AK · sin 60

=

3.
Из того же треугольника AKN находим: AN = BM = 1. С учётом того, что BK = 2

3,
находим:
KM =

BK
2
− BM
2
=

11.
(Заметим, что KM
2
+ KN
2
< N M
2
, поэтому угол N KM тупой. Вот почему высота N H
оказывается вне треугольника KN M .)
Запишем теорему косинусов для стороны KN треугольника KN M :
3 = 16 + 11 − 2 · 4 ·

11 cos ϕ,
откуда cos ϕ =
3

11 3

Остаётся вычислить sin ϕ =

2

11
,
и найти искомое расстояние:
N H = N M · sin ϕ =
4

22 11
Ответ:
4

22 11 4

перейти в каталог файлов


связь с админом