Главная страница
qrcode

Логарифмы. Задача Решить уравнение log 2 (x 2) log


Скачать 231.37 Kb.
НазваниеЗадача Решить уравнение log 2 (x 2) log
АнкорЛогарифмы.pdf
Дата06.03.2019
Размер231.37 Kb.
Формат файлаpdf
Имя файлаLogarifmy.pdf
оригинальный pdf просмотр
ТипЗадача
#58306
Каталог

И. В. Яковлев
|
Материалы по математике
|
MathUs.ru
Логарифмические уравнения и неравенства
Логарифмические уравнения и неравенства — это уравнения и неравенства, в которых переменная величина находится под знаком логарифма. Данная статья посвящена основным приёмам решения логарифмических уравнений и неравенств.
Рассмотрим уравнение log
3
x = 2. Оно имеет корень x = 9. Других корней нет, что хорошо видно на рис.
1
. Функция y = log
3
x монотонно возрастает и тем самым принимает каждое своё
значение ровно один раз.
X
Y
y = log
3
x
9 2
Рис. 1. Единственный корень уравнения log
3
x = 2
Вообще, пусть имеется простейшее логарифмическое уравнение log a
x = b
(1)
(напомним, что по определению логарифма a > 0 и a = 1). Логарифмическая функция моно- тонна и может принимать любые значения (область значений логарифма есть множество R).
Поэтому уравнение (
1
) при любом b имеет единственный корень x = a b
Логарифмические уравнения
При решении логарифмических уравнений мы постоянно используем отмеченные выше свойства логарифмической функции: она монотонна и может принимать любые значения. Кро- ме того, необходимо следить за областями определения логарифмов:
1. переменный аргумент логарифма должен быть положительным;
2. переменное основание логарифма должно быть положительным и не равным единице.
Задача 1. Решить уравнение: log
2
(x − 2) + log
2
(x − 3) = 1.
Решение. Оба логарифма одновременно определены при выполнении системы неравенств:
x − 2 > 0,
x − 3 > 0,
1
то есть при x > 3.
Напомним, что пересечение областей определения всех функций, входящих в уравнение или неравенство, называется областью допустимых значений (ОДЗ ) данного уравнения или неравенства. Таким образом, ОДЗ нашего уравнения есть множество x > 3.
Найдя ОДЗ, переходим к преобразованиям уравнения. Имеем:
log
2
(x − 2)(x − 3) = 1,
откуда
(x − 2)(x − 3) = 2.
Раскрывая скобки и приводя подобные, получаем квадратное уравнение x
2
− 5x + 4 = 0
с корнями 1 и 4. При этом число 1 не принадлежит ОДЗ и поэтому не является корнем исходного уравнения. Число 4 входит в ОДЗ и, следовательно, будет корнем исходного уравнения.
Ответ: 4.
Замечание. Искать ОДЗ здесь было не обязательно. Можно, минуя нахождение ОДЗ, найти корни преобразованного уравнения (1 и 4) и затем просто подставить каждый из них в исход- ное уравнение, выяснив, кто годится, а кто — нет. Действительно, легко проверить, что при x = 4 исходное уравнение превращается в верное числовое равенство, а при x = 1 получаются отрицательные числа под логарифмами.
Задача 2. Решить уравнение:
lg x
2
+ 2x − 5 − lg(x − 1) = 2 lg 3.
(2)
Решение. При нахождении ОДЗ нас поджидает первая (пусть и небольшая) неприятность: кор- ни трёхчлена x
2
+ 2x − 5 иррациональны. Но это ещё полбеды. Главная неприятность состоит в другом: корни преобразованного уравнения окажутся такими, что проверка их на вхожде- ние в ОДЗ или непосредственная подстановка их в исходное уравнение потребуют громоздких вычислений.
Но, к счастью, указанные неприятности можно обойти. Мы пойдём ещё одним путём, где объём вычислений будет минимален.
Заметим, что исходное уравнение (
2
) равносильно системе:



lg x
2
+ 2x − 5
x − 1
= 2 lg 3,
x − 1 > 0.
(3)
В самом деле, всякий корень уравнения (
2
) удовлетворяет системе (
3
). Обратно, пусть x
0
есть решение системы (
3
). Тогда, согласно определению логарифма, выполнено неравенство x
2 0
+ 2x
0
− 5
x
0
− 1
> 0.
С учётом неравенства x
0
− 1 > 0 получаем отсюда x
2 0
+ 2x
0
− 5 > 0, так что x
0
будет корнем уравнения (
2
).
Итак, нам нужно решить уравнение системы (
3
) и отобрать те его корни, которые удовле- творяют неравенству x − 1 > 0.
2

Записываем уравнение системы (
3
) в виде:
lg x
2
+ 2x − 5
x − 1
= lg 9.
В силу монотонности функции y = lg x получаем отсюда:
x
2
+ 2x − 5
x − 1
= 9.
Преобразуя, приходим к квадратному уравнению x
2
− 7x + 4 = 0,
корни которого равны:
x
1
=
7 +

33 2
,
x
2
=
7 −

33 2
(О чём и говорилось выше. Согласитесь, что проверять эти корни на вхождение в ОДЗ с ирраци- ональными границами или подставлять их в исходное уравнение с целью выяснить, получится ли верное ли числовое равенство, — не самое приятное занятие.)
Нам остаётся выяснить, удовлетворяют ли числа x
1
и x
2
неравенству x − 1 > 0.
Число x
1
удовлетворяет этому неравенству очевидным образом, поскольку x
1
> 7/2. Следо- вательно, x
1
— корень исходного уравнения (
2
).
Проверяем x
2
:
x
2
− 1 =
7 −

33 2
− 1 =
5 −

33 2
=

25 −

33 2
< 0.
Таким образом, x
2
не является корнем исходного уравнения.
Ответ:
7 +

33 2
Задача 3. Решить уравнение: log
2 4
x + log
4

x − 1,5 = 0.
Решение. Заметим, что log
4

x = log
4
x
1 2
=
1 2
log
4
x. Имеем, таким образом:
log
2 4
x +
1 2
log
4
x −
3 2
= 0.
Замена t = log
4
x приводит к квадратному уравнению относительно t:
2t
2
+ t − 3 = 0,
корни которого равны 1 и −3/2. Обратная замена:


log
4
x = 1,
log
4
x = −
3 2



x = 4,
x = 4

3 2
= 2 2 −
3 2
= 2
−3
=
1 8
Ответ: 4,
1 8
Задача 4. Решить уравнение: log
9
x − log
3
x = log
1 27 5.
Решение. Приведём все логарифмы к основанию 3. Для этого запишем:
log
3 2
x − log
3
x = log
3
−3 5,
3
или
1 2
log
3
x − log
3
x = −
1 3
log
3 5,
откуда log
3
x =
2 3
log
3 5 = log
3 5
2 3
= log
3 3

25 .
Следовательно, x =
3

25 .
Ответ:
3

25 .
Задача 5. Решить уравнение: log x
2 − log
4
x +
7 6
= 0.
Решение. Переходим к основанию 2:
1
log
2
x

1 2
log
2
x +
7 6
= 0.
Замена t = log
2
x:
1
t

t
2
+
7 6
= 0,
или
3t
2
− 7t − 6 6t
= 0.
Полученное уравнение имеет корни t
1
= 3 и t
2
= −
2 3
. Обратная замена:


log
2
x = 3,
log
2
x = −
2 3



x = 8,
x = 2

2 3
=
1 3

4
Ответ: 8,
1 3

4
Задача 6. Решить уравнение: log
3
(3
x
− 8) = 2 − x.
Решение. В силу определения логарифма это уравнение равносильно следующему:
3
x
− 8 = 3 2−x
Замена t = 3
x приводит к уравнению t − 8 =
9
t
,
то есть t
2
− 8t − 9
t
= 0 .
Корни полученного уравнения: t
1
= −1 и t
2
= 9. Уравнение 3
x
= −1 не имеет решений.
Уравнение 3
x
= 9 имеет единственный корень x = 2.
Ответ: 2.
Задача 7. Решить уравнение: log x
2 16 + log
2x
64 = 3.
Решение. Переходим к основанию 2:
log
2 16
log
2
x
2
+
log
2 64
log
2
(2x)
= 3,
4
или
4
log
2
x
2
+
6
log
2
(2x)
= 3.
Все решения нашего уравнения удовлетворяют условию x > 0. Но при x > 0 выполнено равенство:
log
2
x
2
= 2 log
2
|x| = 2 log
2
x,
поэтому наше уравнение равносильно следующему:
2
log
2
x
+
6 1 + log
2
x
= 3.
Делаем замену t = log
2
x:
2
t
+
6 1 + t
= 3.
Полученное уравнение сложностей не представляет. Его корни равны t
1
= 2 и t
2
= −
1 3
Обратная замена:


log
2
x = 2,
log
2
x = −
1 3



x = 4,
x = 2

1 3
=
1 3

2
Ответ: 4,
1 3

2
Задача 8. Решить уравнение: 3
log
2 3
x
+ x log
3
x
= 162.
Решение. Согласно основному логарифмическому тождеству имеем x = 3
log
3
x
. Тогда наше урав- нение преобразуется следующим образом:
3
log
2 3
x
+ 3
log
3
x log
3
x
= 162

3
log
2 3
x
+ 3
log
2 3
x
= 162

3
log
2 3
x
= 81.
Отсюда log
2 3
x = 4,
то есть log
3
x = ±2.
Следовательно, x = 9 или x =
1 9
Ответ: 9,
1 9
Задача 9. Решить уравнение: log x+1
(x
2
+ 4x + 1) = 1.
Решение. Следствием данного уравнения является уравнение x
2
+ 4x + 1 = x + 1,
то есть x
2
+ 3x = 0.
Его корни равны 0 и −3. Однако если x = 0, то основание логарифма равно единице, а если x = −3, то основание логарифма отрицательно (и то, и другое вопреки определению логариф- ма). Следовательно, данное уравнение не имеет корней.
Ответ: нет корней.
5

Логарифмические неравенства
При решении логарифмических неравенств мы используем следующие известные вам фак- ты: логарифмическая функция y = log a
x определена при x > 0, монотонно возрастает при a > 1 и монотонно убывает при 0 < a < 1.
Рассмотрим, например, простейшее логарифмическое неравенство log
2
x > 3. Запишем его как log
2
x > log
2 8. Логарифмическая функция y = log
2
x монотонно возрастает, поэтому боль- шему значению функции отвечает большее значение аргумента: x > 8.
Возьмём теперь неравенство log
2
x < 3. Здесь надо соблюдать осторожность. Ввиду моно- тонного возрастания функции y = log
2
x мы получаем x < 8, но не забываем, что логарифм определён при x > 0. Поэтому решение данного неравенства: 0 < x < 8.
Решим неравенство log
1 3
x
−2. Запишем его в виде log
1 3
x log
1 3
9. Логарифмическая функция y = log
1 3
x монотонно убывает, поэтому меньшему значению функции отвечает боль- шее значение аргумента: x
9.
Теперь решим неравенство log
1 3
x
−2. Вследствие убывания функции y = log
1 3
x получаем x
9 и не забываем про область определения логарифма: x > 0. Решение неравенства, таким образом: 0 < x
9.
Задача 10. Решить неравенство: log
3
(2x − 1)
3.
Решение. Вследствие монотонного возрастания функции y = log
3
x наше неравенство равно- сильно неравенству 2x − 1 27, то есть x
14. (Обратите внимание, что искать ОДЗ здесь не потребовалось, поскольку величина 2x − 1 больше 27 и потому автоматически положительна.)
Ответ: [14; +∞).
Задача 11. Решить неравенство: log
1 2
(x
2
− 4x + 3)
−3.
Решение. Вследствие убывания функции y = log
1 2
x наше неравенство равносильно двойному неравенству 0 < x
2
− 4x + 3 8, которое удобнее записать как систему:
x
2
− 4x + 3 > 0,
x
2
− 4x + 3 8.
Эту систему вы легко решите.
Ответ: [−1; 1) ∪ (3; 5].
Задача 12. Решить неравенство: lg(3x − 6) < lg(x + 4).
Решение. Ввиду монотонного возрастания логарифмической функции y = lg x логарифмы от- брасываются без изменения знака неравенства, так что наше неравенство равносильно системе:
3x − 6 < x + 4,
3x − 6 > 0.
(Почему мы не требуем выполнения неравенства x + 4 > 0? Да потому что оно будет выполнено автоматически: ведь x + 4 больше величины 3x − 6, которая должна быть положительной.)
Решая данную систему, находим: 2 < x < 5.
Ответ: (2; 5).
Задача 13. Решить неравенство: log
2 0,2
x − log
0,2
x − 2 < 0.
Решение. Замена t = log
0,2
x приводит к квадратному неравенству относительно t:
t
2
− t − 2 < 0,
6
решения которого: −1 < t < 2. Делаем обратную замену:
log
0,2
x > −1,
log
0,2
x < 2.
Вследствие монотонного убывания функции y = log
0,2
x логарифмы отбрасываются с изме- нением знака неравенства:



x < 5,
x >
1 25
Ответ:
1 25
; 5 .
Задача 14. Решить неравенство:
log x
2 8 + log x
4 8 <
log
2
x
4
log
2
x
2
− 4
Решение. Ищем решения на множестве x > 0 (только при таких x определены логарифмы в левой части неравенства). Для положительных x справедливы равенства log
2
x
4
= 4 log
2
x,
log
2
x
2
= 2 log
2
x.
Кроме того, в левой части переходим к основанию 2:
log
2 8
log
2
x
2
+
log
2 8
log
2
x
4
<
4 log
2
x
2 log
2
x − 4
,
или
3
log
2
x − 1
+
3
log
2
x − 2
<
2 log
2
x log
2
x − 2
Замена t = log
2
x:
3
t − 1
+
3
t − 2
<
2t t − 2
После простых преобразований получаем рациональное неравенство:
2t
2
− 8t + 9
(t − 1)(t − 2)
> 0.
Квадратный трёхчлен в числителе имеет отрицательный дискриминант и потому положи- телен при всех t. Поэтому остаётся решить равносильное неравенство
(t − 1)(t − 2) > 0.
Это легко: t < 1 или t > 2. Теперь обратная замена:
log
2
x < 1,
log
2
x > 2

0 < x < 2,
x > 4.
Ответ: (0; 2) ∪ (4; +∞).
7

Задача 15. Решить неравенство: log
1 7
log
8
(x
2
− 1)
0.
Решение. Обратите внимание: логарифм по основанию 8 служит аргументом логарифма по ос- нованию 1/7. Сначала отбрасываем внешний логарифм и переходим к равносильному двойному неравенству
0 < log
8
(x
2
− 1)
1.
А это неравенство, в свою очередь, равносильно неравенству
1 < x
2
− 1 8,
то есть
2 < x
2 9.
Решения полученного неравенства: −3
x < −

2 или

2 < x
3.
Ответ: −3; −

2 ∪

2; 3 .
Задача 16. Решить неравенство: log x
2
(x + 2) < 1.
Решение. Ищем решения при условии x + 2 > 0, то есть на множестве x > −2.
(4)
Запишем наше неравенство в виде:
log x
2
(x + 2) < log x
2
x
2
Логарифмы отбрасываются либо без изменения знака неравенства, либо с изменением — в зависимости от того, больше единицы основание логарифма или меньше единицы. Мы видим,
что множество (
4
) допускает оба этих случая.
1. x
2
> 1, то есть x > 1 или x < −1. Таким образом, с учётом (
4
) мы ищем решения на множестве
− 2 < x < −1,
x > 1.
(5)
Логарифмы отбрасываются без изменения знака неравенства:
x + 2 < x
2
,
или x
2
− x − 2 > 0.
Решения этого неравенства: x < −1, x > 2. Пересекая с множеством (
5
), получаем решения в рассматриваемом случае:
−2 < x < −1,
x > 2.
2. 0 < x
2
< 1, то есть
− 1 < x < 0,
0 < x < 1.
(6)
В данном случае мы находимся целиком внутри множества (
4
), так что решения ищутся на множестве (
6
).
Логарифмы отбрасываются с изменением знака неравенства:
x + 2 > x
2
,
8
или x
2
− x − 2 < 0.
Решения данного неравенства: −1 < x < 2. Пересекая с множеством (
6
), получаем реше- ния в рассматриваемом случае:
−1 < x < 0,
0 < x < 1.
Остаётся объединить решения в «рамочках», полученные в каждом из двух рассмотренных случаев.
Ответ: (−2; −1) ∪ (−1; 0) ∪ (0; 1) ∪ (2; +∞).
В следующей статье «
Метод рационализации
» мы рассмотрим другой способ решения этого неравенства, который в случае более сложных неравенств оказывается гораздо эффективнее.
9

перейти в каталог файлов


связь с админом